[tex]Bonjour;\\\\\\Patrtie\ A.\\\\\\\forallt\in[a;b]\ ;\ f(t)\le g(t)\ donc\ :\ g(t)-f(t)\ge 0\ ;\ donc\ :\ \int_a^b(g(t)-f(t))dt\ge0\ ;\\ \\\\donc\ :\ \int_a^bg(t)dt\ge\int_a^b f(t)dt\ .[/tex]
[tex]Partie\ B.\\\\\\1.a\\\\\\\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}f_1(x)=\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}ln(1+x)=+\infty\ .\\\\\\b.\\\\\\f'_1(x)=\dfrac{1}{1+x}>0\ pour\ x\in[0;+\infty[\ donc\ f_1\ est\ strictement\\\\\\croissante\ sur\ [0;+\infty[\ .\\\\\\c.\\\\\\\forall\ x\in[0;+\infty[\ ;\ F'(x)=((x+1)ln(x+1)-x)'\\\\\\=ln(x+1)+(x+1)\times\dfrac{1}{x+1}-1\\\\\\=ln(x+1)+1-1=ln(x+1)=f(x)[/tex]
[tex]I_1=\int_0^1ln(1+x)dx=\int_0^1((x+1)ln(x+1)-x)'dx\\\\\\=[(x+1)ln(x+1)-x]_0^1=2ln(2)-1\ .[/tex]
