Bonjour,
Soit la fonction f définie sur ]0, +∞[ par f(x) = 2(1+ln(x))/x
a) Soit x∈]0, +∞[ tel que f(x) = 0
Alors 2(1+ln(x)) = 0 ⇒ 1+ln(x) = 0 ⇒ ln(x) = -1 ⇒ exp(ln(x)) = exp(-1)
Or exp(ln(x)) = x, et exp(-1) = 1/exp(1) = 1/e
Donc x = 1/e ≈ 0.368
b) Soit x∈]0, +∞[ tel que f(x) > 0
Comme x > 0, alors le dénominateur de l'expression de f est forcément positif.
D'où 2(1+ln(x)) > 0 ⇒ 1+ln(x) > 0 ⇒ ln(x) > -1 ⇒ exp(ln(x)) > exp(-1) car la fonction exponentielle est strictement croissante.
Donc x > 1/e
