Sagot :
a) [tex]y''+4y=e^x+9\sin(x)-3\cos(x)[/tex]
On résout d'abord l'équation homogène associée [tex]y''+4y=0[/tex], qui est de la forme [tex]y''+\omega^2y=0[/tex], avec [tex]\omega=2[/tex]. On sait alors que les solutions sont de la forme [tex]y_h(x)=A\cos(2x)+B\sin(2x)[/tex], où [tex]A[/tex] et [tex]B[/tex] sont deux constantes réelles.
Compte tenu du second membre, on cherche une solution particulière sous la forme [tex]y_p(x)=pe^x+q\sin(x)+r\cos(x)[/tex], d'où en dérivant deux fois [tex]y''_p(x)=pe^x-q\sin(x)-r\cos(x)[/tex], et donc [tex]y''_p(x)+4y_p(x)=5pe^x+3q\sin(x)+3r\cos(x)[/tex]. Ainsi, en choisissant [tex](p,q,r)=\left(\dfrac 15,3,-1\right)[/tex], on trouve la solution particulière [tex]y_p(x)=\dfrac{e^x}5+3\sin(x)-\cos(x)[/tex], et donc les solutions de l'équation différentielle de départ sont de la forme [tex]y(x)=A\cos(x)+B\sin(x)+\dfrac{e^x}5+3\sin(x)-\cos(x)[/tex] où [tex]A[/tex] et [tex]B[/tex] sont deux nombres réels.
b) [tex]y''+5y'-6y=e^t+6t^2+2t+12[/tex]
L'équation homogène associée [tex]y''+5y'-6y=0[/tex] a pour équation caractéristique [tex]r^2+5r-6=0[/tex] dont les solutions sont [tex]1[/tex] et [tex]-6[/tex], donc les solutions de cette équation homogène sont de la forme [tex]y_h(x)=Ae^t+Be^{-6t}[/tex].
Compte tenu du second membre de l'équation de départ, on cherche une solution particulière sous la forme [tex]y_p(t)=(pt+q)e^t+rt^2+st+u[/tex], qui a pour dérivée [tex]y'_p(t)=(pt+p+q)e^t+2rt+s[/tex] et pour dérivée seconde [tex]y''_p(t)=(pt+2p+q)e^t+2r[/tex], d'où [tex]y''_p(t)+5y'_p(t)-6y_p(t)=7pe^t-6rt^2+(10r-6s)t+2r+5s-6u[/tex], ce qui donne envie de choisir [tex](p,q,r,s,u)=\left(\dfrac 17,0,-1,-2,-4\right)[/tex],d'où la solution particulière [tex]y_p(t)=\dfrac{te^t}7-t^2-2t-4[/tex], et donc les solutions de l'équation différentielle de départ sont de la forme [tex]y(t)=Ae^t+Be^{-6t}+\dfrac{te^t}7-t^2-2t-4[/tex] où [tex]A[/tex] et [tex]B[/tex] sont deux nombres réels.
c) [tex]y''+2y'+y=2e^{-x}[/tex]
L'équation homogène associée [tex]y''+2y'+y=0[/tex] a pour équation caractéristique [tex]r^2+2r+1=0[/tex], soit [tex](r+1)^2=0[/tex] qui a pour unique racine double le nombre [tex]-1[/tex], donc les solutions de cette équation homogène sont de la forme [tex]y_h(x)=Ae^{-x}+Bxe^{-x}[/tex].
Compte tenu du second membre de l'équation de départ, on cherche une solution particulière sous la forme [tex]y_p(x)=(px^2+qx+r)e^{-x}[/tex], d'où en dérivant [tex]y'_p(x)=(-px^2+(2p-q)x+q-r)e^{-x}[/tex] et [tex]y''_p(x)=(px^2+(q-4p)x+2p-2q+r)e^{-x}[/tex], d'où [tex]y''_p(x)+2y'_p(x)+y_p(x)=2pe^{-x}[/tex], ce qui donne envie de choisir [tex](p,q,r)=(1,0,0)[/tex], et donc la solution particulière [tex]y_p(x)=x^2e^{-x}[/tex].
Les solutions de l'équation différentielle de départ sont donc de la forme [tex]y(x)=Ae^{-x}+Bxe^{-x}+x^2e^{-x}[/tex] où [tex]A[/tex] et [tex]B[/tex] sont deux nombres réels.
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