Réponse :
Explications étape par étape :
■ bonsoir !
■ 1°) proba(0 Etranger) = p(2 Français) = (5/x)² = 25/x²
p(1 E puis 1 F ou 1 F puis 1 E) = 2 * (x-5)/x * 5/x = 10*(x-5)/x²
p(2 E) = (x-5)² / x² .
■ 2°) on veut (x-5)² / x² > 0,5
x² - 10x + 25 > 0,5x²
0,5x² - 10x + 25 > 0
x² - 20x + 50 > 0
(x-2,929)(x-17,071) > 0
x ≥ 18
il faut donc 18 chansons au moins dans son lecteur !
■ 2°) étude de f(x) = (x-5)²/x² pour 7 ≤ x ≤ 20
f ' (x) = [ x²(2x-10) - 2x(x-5)² ] / x4
= [ 2x³ - 10x² - 2x³ + 20x² - 50x ] / x4
= [ 10x² - 50x ] / x4
= 10 ( x - 5 ) / x³
cette dérivée est positive pour x > 5 chansons !
Tableau :
x --> 5 7 10 18 20 chansons
f(x) -> 0 0,08 0,25 0,52 0,56
■ 3°) Espé = (10x-50)/x² + 2(x-5)²/x²
= (10x-50+2x²-20x+50)/x²
= (2x²-10x)/x²
= 2(x-5)/x
= 2 - (10/x)
Espé pour x = 10 chansons :
Espé = 1 --> normal car 10 chansons dont 5 Etrangères
et 5 Françaises --> on aura bien 1 Etrangère en moyenne
sur les 2 chansons écoutées !
