Réponse :
1a) la largeur de la gouttière est L=14-2x
b) la gouttiére a la forme d'un parallélipipède droit donc son volume est donné par la formule V=longueur*largeur* hauteur
ce qui donne en fonction de x: V(x)=600*(14-2x)*x=600x(14-2x)
c) x doit être compris entre 0 et 7cm, il n'y a rien à démontrer c'est de la logique
si x=0 le morceau de métal reste plat on ne fait que prolonger le toit de 14cm
si x=7 on a plié la feuille de métal en deux et la gouttière n'a plus de fond (L=0)
donc si on veut que la gouttière joue son rôle il faut que x soit >0 mais <7
2) V(x)=600x *(14-2x) c'est une fonction produit de la forme u*v sa dérivée est donc u'*v+v'*u (cours sur les dérivées) avec:
u= 600x u'=600 et v=14-2x v'=-2
ce qui donne V'(x)=600(14-2x)-2(600x)=-2400x+8400
cette dérivée s'annule pour 2400x=8400 soit x=7/2=3,5cm
Tableau de signes de V'(x) et de variations de V(x) sur [0;7]
x 0 3,5 7
V'(x)..........+..............0............-...............
V(x).....croi............V(3,5).........décroi......0
Le volume de la gouttière est donc max pour x=3,5 cm , calcule V(3,5)=................
ex 1
l'aire est un rectangle de dimensions x et y donc y=aire/x=200/x
le prix représente celui des dalles sur x puis celui de la cloture sur x+2y (on n'en met pas contre le mur)
ce qui donne P(x)=15*x+12(x+2y) avec y=200/x
p(x)=15x+12x+4800/x=27x+4800/x
Etude de cette fonction sur [10;40]
dérivée P'(x)=27-4800/x²=(27x²-4800)/x²
comme x différent de 0 P'(x)=0 pour 27x²-4800=0 soit x²=4800/27=1600/9
solutions x=40/3 ou-40/3 on ne garde que la positive
Tableau de signe et de variartion
x 10 40/3 40
P'(x)...........-..............................0..............+....................
P(x) p(10) ....décroi.........p(40/3).......croi.............p(40)
les dimensions de la zone sont x=40/3 et y=200/(40/3)=15
calcule le prix de revient de cette construction en fonction des données initiales et vérifie que c'est égal à P(40/3)
Nota: fais les calculs avec x=40/3 et non la valeur décimale arrondie.
Explications étape par étape