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Voici mon DM,

ABCD est un trapèze rectangle de bases AD = 6 cm , CB = 2 cm , de hauteur AB = 4 cm . Soit H le projeté orthogonal de C sur [AD] .Un point M décrit le segment [AB] et on pose AM = x . La parallèle à (AD) passant par M coupe [CD] en N et la parallèle à (AB) passant par N coupe [AD] en P .

1) a)Montrer que le triangle CHD est un triangle rectangle isocèle.
b) Démontrer que AMNP est un rectangle et que NPD est un triangle rectangle isocèle

2) On appelle f(x) l’aire du rectangle AMNP lorsque x décrit l’intervalle [0;4].
a) Montrer que f(x) = x ( 6 – x ) et vérifier que f(x) = 9 – ( x – 3 )2 .
b) Compléter le tableau suivant :

3) Tracer la courbe représentative de la fonction f .

4) Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes:
a) Lorsque AM = 14 AD , quelle est l’aire de AMNP ?
b) Pour quelle position de M l’aire du rectangle AMNP semble t’elle maximale ?
c) Sur quel segment faut-il choisir le point M pour que l’aire du rectangle soit supérieure ou égale à 8 cm2 ?
d) Vérifier qu’il existe deux points M pour lesquels l’aire du rectangle est égale à 17 cm2 .

5) Répondre aux question suivantes par le calcul en choisissant l’expression de f(x)la mieux adaptée :
a) Montrer que f(x) ≤ 9 . Peut-on affirmer que l’aire du rectangle est maximale lorsque x = 3 ? Quelle est la nature de AMNP lorsque x = 3 ?
b) Montrer que l’aire du rectangle AMNP est égale à 17 cm2 lorsque x = 6 − 2 22 oux=6+ 2 2

Merci pour votre aide

Sagot :

Croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape :

■ bonsoir Ameline !

■ 1a) CH = HD = 4 cm ; et  [ CH ] ⊥ [ HD ] ,

donc CHD est bien un triangle rectangle isocèle !

■ 1b) Tu démontres avec les angles droits et les parallèles .

         NPD est une "réduction" de CHD ,

          donc NPD est bien un triangle rectangle isocèle !

■ 2a) Aire AMNP = AM * AP = x * (6-x) .

         f(x) = 9 - (x-3)² = (3-x+3) * (3+x-3) = (6-x) * x .

■ 2b) tableau :

         x --> 0     1     2     3     4

       f(x) -> 0     5    8     9     8

■ 3°) la courbe tracée est un arc de Parabole " en ∩ "

     admettant un Maximum de coordonnées ( 3 ; 9 ) .

■ 4a) AM = 14 AD ??

         AM = 14 AP donne x = 14 (6-x) donc x = 84 - 14x

                                                                 15 x = 84

                                                                     x = 5,6 cm .

        d' où l' Aire de AMNP = 5,6 * 0,4 = 2,24 cm² .

■ 4b) Aire MAXI pour x = 3 cm !

■ 4c) pour obtenir Aire ≥ 8 cm² , il faut 2 ≤ x ≤ 4 cm .

          Soit J = milieu de [ AB ] , il faut donc que M

                             appartienne au segment [ JB ] .

■ 4d) Aire du rectangle = 17 cm² ??

■ 5a) f(x) = 9 - (x-3)² donc f(x) ≤ 9 .

         l' Aire est bien MAXI pour x = 3 cm ,

                          AMNP est alors un carré !

■ 5b) Ta question est bizarre puisque Amaxi = 9 cm² ...

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