Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
1)
a)
f(x)=3/x -(2/x)*lnx
Quand x tend vers 0+:
3/x tend vers +inf .
lnx tend vers -inf et -2/x tend vers -inf donc par produit -(2/x)*lnx tend vers +inf.
Donc par somme f(x) tend vers +inf.
L'axe des y est asymptote à Cf.
b)
Quand tend vers + inf :
f(x)=3/x -2(lnx/x)
3/x tend vers 0.
On admet en général dans le cours que :
lim lnx/x=0 quand x tend vers +inf en disant que :
les puissances de "x" imposent leur limite à la fonction lnx.
Par somme :
lim f(x)=0 quend x tend vers +inf.
L'axe des x est asymptote à Cf.
2)
a)
f(x) est de la forme u/v avec :
u=3-2lnx donc u '=-2/x
v=x donc v '=1
f '(x)=[-2-(3-2lnx)/x²=(2lnx-5)/x²
b)
2lnx-5 > 0
lnx > 5/2 qui donne :
x > exp(5/2)
c)
Tu fais ton ton tableau sur ]0;+inf[ avec une valeur intermédiaire qui est "exp(5/2)".
Et tu marques que f(x) décroît sur ]0;exp(5/2)] et croît ensuite.
3)
ln(exp(-1))=-1 : OK ?
f(exp(-1))=(3-2(-1)) / (exp(-1))=5/exp(-1)
Mais exp(-1)=1/e
Donc f(exp(-1))=5/(1/e)=5*e ou 5*exp(1). OK ?
4)
Voir graph joint.
5)
F(x)=3lnx-(lnx)²
(lnx)² est de la forme u² dont la dérivée est 2*u*u'.
Donc :[ (lnx)²]'=(2lnx)/x
F '(x)=3/x - (2lnx)/x=(3-2lnx)/x=f(x)
6 ) On calcule donc F(4)-F(1).
F(4)=3ln4 - (ln4)²=3*2*ln2-(2*ln2)²=6ln2-4*(ln2)²
F(1)=0
F(4)-F(0)=6*ln(2)-4*(ln2)² en unités d'aire et non en cm².
Pour mettre en cm² , il faut connaître ton graphique et voir combien l'unité d'aire vaut de cm².
Sur mon graph : une unité d'aire = 10 x 0.5 =5 cm²
