4. a. Si [tex]P_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}[/tex], ce qui signifie que [tex]P(A_1)=1[/tex] et [tex]P(B_1)=0[/tex] donc qu'Alex ne se baigne pas le premier jour, la probabilité qu'il ne se baigne pas le deuxième jour est donc [tex]P(A_2)=0,1[/tex] et celle qu'il se baigne est [tex]P(B_2)=0,9[/tex], d'où [tex]P_2=\begin{pmatrix} 0,1 & 0,9 \end{pmatrix}[/tex]
Si [tex]P_1=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}[/tex], cela signifie qu'Alex se baigne le premier jour, donc il ne se baignera pas le deuxième jour avec une probabilité [tex]P(A_2)=0,3[/tex] et il se baignera avec une probabilité [tex]P(B_2)=0,7[/tex], d'où [tex]P_2=\begin{pmatrix} 0,3 & 0,7 \end{pmatrix}[/tex].
On vérifie facilement qu'on a bien [tex]P_2=P_1\times M[/tex] dans les deux cas.
b. Si [tex]P_2=\begin{pmatrix} 0,1 & 0,9 \end{pmatrix}[/tex], alors il vient (à la calculatrice) [tex]P_2\times M=\begin{pmatrix} 0,28 & 0,72 \end{pmatrix}[/tex].
Si [tex]P_2=\begin{pmatrix} 0,3 & 0,7 \end{pmatrix}[/tex], alors il vient [tex]P_2\times M=\begin{pmatrix} 0,24 & 0,76 \end{pmatrix}[/tex].
On a [tex]M^2=\begin{pmatrix} 0,28 & 0,72 \\ 0,24 & 0,76\end{pmatrix}[/tex], dont les deux lignes correspondent aux deux matrices lignes trouvées précédemment.
6. Si [tex]P=\begin{pmatrix} a & b\end{pmatrix}[/tex], alors [tex]PM=\begin{pmatrix}a & b\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,1 & 0,9 \\ 0,3 & 0,7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,1a+0,3b & 0,9a+0,7b\end{pmatrix}[/tex].
Ainsi, si l'on suppose que [tex]PM=P[/tex] et [tex]a+b=1[/tex], on obtient le système :
[tex]\left\{\begin{array}{rcr c l}0,1a & + & 0,3b &=& a \\0,9a & + & 0,7b &=& b\\a & + &b &=& 1\end{array}\right.[/tex]
En ôtant [tex]a[/tex] à chaque membre de la première équation et [tex]b[/tex] à chaque membre de la seconde, on obtient
[tex]\left\{\begin{array}{rcr c l}-0,9a & + & 0,3b &=& 0 \\ 0,9a & - & 0,3b &=& 0\\a & + &b &=& 1\end{array}\right.[/tex]
Les deux premières équations sont proportionnelles (opposées l'une de l'autre), on peut donc en oublier une, et il ne reste donc que [tex]\left\{\begin{array}{rcr c l}0,9a & - & 0,3b &=& 0\\a & + &b &=& 1\end{array}\right.[/tex].
On résout facilement ce système par substitution : la première équation donne [tex]b=3a[/tex] et la deuxième revient donc à [tex]4a=1[/tex], soit [tex]a=\dfrac 14[/tex] et [tex]b=\dfrac 34[/tex].
On sait que lorsqu'on calcule les matrices lignes [tex]P_n[/tex], elles ont tendance à se rapprocher de l'état stable, qui ici est [tex]P=\begin{pmatrix} \dfrac 14 & \dfrac 34\end{pmatrix}[/tex]. Cela signifie donc que sur le long terme, Alex ira se baigner chaque jour avec une probabilité de plus en plus proche de [tex]\dfrac 34[/tex].