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Sagot :
ABC est un triangle tel que : AB = 4√5 ; AC = √125 ; BC=√45.
1. a. Démontrer que le triangle ABC est rectangle
1.b. Calculer le périmètre de ce triangle et présenter la réponse sous la forme a√5
1.c. Calculer l'aire du triangle ABC en cm²
2. On considère le cercle circonscrit au triangle ABC.
a. Préciser la position de son centre K. Justifier.
b. Calculer la longueur du ragon de ce cercle et présenter la réponse sous la forme [tex] \frac{a \sqrt{c} }{b} [/tex] avec a, b, c nombres
entiers.
3. D est le point tel que ACBD soit un parallélogramme.
On note O le point d'intersection de ses diagonales.
a. Démontrer que les droites (BC) et (OK) sont parallèles.
b. Calculer la longueur OK.
Proposition de résolution du problème :
Vérifie bien tous les calculs...
AB = 4√5
AC = √125 = √(25 * 5) = 5√5
BC = √45 = √(9 * 5) = 3√5
1) a) Démonstration que le triangle est rectangle par le théorème de Pythagore :
AB² + BC² = (4√5)² + (3√5)²
= (16 * 5) + (9 * 5)
= 80 + 45
= 125
= (√125)²
AB² + BC² = AC²
L'égalité est prouvée donc le triangle ABC est rectangle en B.
b) périmètre du triangle ABC :
P = [AB] + [BC] + [AC]
P = 4√5 + √45 + √125
P = 4√5 + 3√5 + 5√5
P = (4 + 3 + 5)√5
P = 12√5 cm
c) Aire du triangle ABC :
Aire = [AB] × [BC]sur 2
Aire = 4√5 × 3√5 divisé par 2
Aire = (4 × 3 × 5) sur 2
Aire = [tex] \frac{60}{2} [/tex]
Aire = 30 cm²
2) a) Le cercle circonscrit, à un triangle rectangle, a la particularité d'admettre pour diamètre l'hypoténuse de ce triangle rectangle.
Le centre du cercle circonscrit se trouve par conséquent être le milieu de l'hypoténuse.
=> donc K est milieu de [BC] .
b) rayon du cercle circonscrit au triangle rectangle ABC:
rayon = [BC] / 2 = [tex] \frac{5 \sqrt{5} }{2} [/tex]
3) a) utilisation du théorème de Thalès pour démontrer que les droites sont parallèles :
ABC est un triangle
K est milieu de [AC]
et
O est milieu de [AB] ;
=> ACBD est un parallélogramme ! (les diagonales se coupent en leurs milieux)
donc :
[tex] \frac{AK}{AC} = \frac{AK}{2AK} = \frac{1}{2} [/tex]
et
[tex] \frac{AO}{AB} = \frac{AO}{2AO} = \frac{1}{2} [/tex]
La proportionnalité est prouvée donc (BC) et (OK) sont parallèles
b) Calculer la mesure de OK avec l'aide du théorème de Thalès :
[tex] \frac{AO}{AB} = \frac{OK}{BC} [/tex]
[tex] OK = \frac{AO * BC}{AB} [/tex]
OK = (AB/2) * BC / AB
[tex]OK = \frac{AB * BC}{2AB} [/tex]
[tex]OK = \frac{BC}{2} [/tex]
[tex] OK = \frac{3 \sqrt{5} }{2} [/tex]
1. a. Démontrer que le triangle ABC est rectangle
1.b. Calculer le périmètre de ce triangle et présenter la réponse sous la forme a√5
1.c. Calculer l'aire du triangle ABC en cm²
2. On considère le cercle circonscrit au triangle ABC.
a. Préciser la position de son centre K. Justifier.
b. Calculer la longueur du ragon de ce cercle et présenter la réponse sous la forme [tex] \frac{a \sqrt{c} }{b} [/tex] avec a, b, c nombres
entiers.
3. D est le point tel que ACBD soit un parallélogramme.
On note O le point d'intersection de ses diagonales.
a. Démontrer que les droites (BC) et (OK) sont parallèles.
b. Calculer la longueur OK.
Proposition de résolution du problème :
Vérifie bien tous les calculs...
AB = 4√5
AC = √125 = √(25 * 5) = 5√5
BC = √45 = √(9 * 5) = 3√5
1) a) Démonstration que le triangle est rectangle par le théorème de Pythagore :
AB² + BC² = (4√5)² + (3√5)²
= (16 * 5) + (9 * 5)
= 80 + 45
= 125
= (√125)²
AB² + BC² = AC²
L'égalité est prouvée donc le triangle ABC est rectangle en B.
b) périmètre du triangle ABC :
P = [AB] + [BC] + [AC]
P = 4√5 + √45 + √125
P = 4√5 + 3√5 + 5√5
P = (4 + 3 + 5)√5
P = 12√5 cm
c) Aire du triangle ABC :
Aire = [AB] × [BC]sur 2
Aire = 4√5 × 3√5 divisé par 2
Aire = (4 × 3 × 5) sur 2
Aire = [tex] \frac{60}{2} [/tex]
Aire = 30 cm²
2) a) Le cercle circonscrit, à un triangle rectangle, a la particularité d'admettre pour diamètre l'hypoténuse de ce triangle rectangle.
Le centre du cercle circonscrit se trouve par conséquent être le milieu de l'hypoténuse.
=> donc K est milieu de [BC] .
b) rayon du cercle circonscrit au triangle rectangle ABC:
rayon = [BC] / 2 = [tex] \frac{5 \sqrt{5} }{2} [/tex]
3) a) utilisation du théorème de Thalès pour démontrer que les droites sont parallèles :
ABC est un triangle
K est milieu de [AC]
et
O est milieu de [AB] ;
=> ACBD est un parallélogramme ! (les diagonales se coupent en leurs milieux)
donc :
[tex] \frac{AK}{AC} = \frac{AK}{2AK} = \frac{1}{2} [/tex]
et
[tex] \frac{AO}{AB} = \frac{AO}{2AO} = \frac{1}{2} [/tex]
La proportionnalité est prouvée donc (BC) et (OK) sont parallèles
b) Calculer la mesure de OK avec l'aide du théorème de Thalès :
[tex] \frac{AO}{AB} = \frac{OK}{BC} [/tex]
[tex] OK = \frac{AO * BC}{AB} [/tex]
OK = (AB/2) * BC / AB
[tex]OK = \frac{AB * BC}{2AB} [/tex]
[tex]OK = \frac{BC}{2} [/tex]
[tex] OK = \frac{3 \sqrt{5} }{2} [/tex]
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