1. Il te suffit d'utiliser le fait que [tex]f[/tex] est continue pour avoir [tex]\displaystyle x\mapsto\int_0^xe^{-t}f(t)dt[/tex] dérivable de dérivée [tex]x\mapsto e^{-x}f(x)[/tex], ce qui permet de dériver facilement [tex]f[/tex], dont la dérivée va s'exprimer en fonction de [tex]f[/tex] (on peut faire un coup de [tex]-\sin(x)+\sin(x)[/tex] pour faire apparaître un [tex]f(x)[/tex] supplémentaire).
Il est alors immédiat de vérifier que [tex]f[/tex] est solution de l'équation différentielle donnée avec la condition initiale.
2. D'après la question précédente, un fonction qui vérifie l'identité [tex](*)[/tex] est solution de l'équation différentielle proposée. L'équation homogène associée à cette équation se résout immédiatement, pour avoir la solution générale, on est amené à intégrer [tex]x\mapsto(\cos(x)-\sin(x))e^{-3x}[/tex], ce qui s'obtient classiquement en faisant deux intégrations par parties successives.
Les solutions sont de la forme [tex]f(x)=Ce^{3x}-\dfrac 15\cos(x)+\dfrac 25\sin(x)[/tex] où [tex]C[/tex] est un nombre réel, et la condition initiale [tex]f(0)=0[/tex] impose [tex]C=\dfrac 15[/tex], d'où l'unique solution [tex]f\colon x\mapsto\dfrac 15e^{3x}-\dfrac 15\cos(x)+\dfrac 25\sin(x)[/tex].