Réponse : Bonjour,
2)a) Pour être cohérent avec l'énoncé, on étudie les variations de f sur l'intervalle [tex][6;+\infty[[/tex].
On calcule la dérivée f':
[tex]f'(x)=\frac{2(x-5)x^{2}-2x(x-5)^{2}}{x^{4}}=\frac{(2x-10)x^{2}-2x(x^{2}-10x+25)}{x^{4}}=\frac{2x^{3}-10x^{2}-2x^{3}+20x^{2}-50x}{x^{4}}=\frac{10x^{2}-50x}{x^{4}}=\frac{x(10x-50)}{x^{4}}=\frac{10x-50}{x^{3}}[/tex].
Sur l'intervalle [tex][6;+\infty[[/tex], [tex]x^{3}>0[/tex] et [tex]10x-50>0[/tex].
Donc [tex]f'(x) >0[/tex], sur l'intervalle [tex][6;+\infty[[/tex], donc f est croissante sur [tex][6;+\infty[[/tex].
On a le tableau suivant:
x 6 +∞
f(x) f(6) (croissant)
On a [tex]f(6)=\frac{(6-5)^{2}}{6^{2}}=\frac{1}{36}[/tex]
On résout maintenant l'équation [tex]f(x)=\frac{1}{2}[/tex]:
[tex]f(x)=\frac{1}{2}\\\frac{(x-5)^{2}}{x^{2}}=\frac{1}{2}\\2(x-5)^{2}=x^{2}\\2(x^{2}-10x+25)=x^{2}\\2x^{2}-20x+50=x^{2}\\x^{2}-20x+50=0[/tex].
(suite) [tex]\Delta=(-20)^{2}-4 \times 1 \times 50=400-200=200\\x_{1}=\frac{20-\sqrt{200}}{2}=10-\frac{1}{2}\sqrt{200} \approx 2,93\\x_{2}=\frac{20+\sqrt{200}}{2}=10+\frac{1}{2}\sqrt{200} \approx 17,07[/tex].
Puisque la fonction f est strictement croissante sur [tex][6;+\infty[[/tex], on en déduit qu'à partir de [tex]x=18[/tex], [tex]f(x)>0,5[/tex], et donc à partir de 18 morceaux de musique, la probabilité qu'il écoute deux chansons étrangères, est supérieure à 0,5.
3)a) [tex]E=0 \times \frac{25}{x^{2}}+1 \times \frac{10x-50}{x^{2}}+2 \times \frac{(x-5)^{2}}{x^{2}}=\frac{10x-50}{x^{2}}+\frac{2(x-5)^{2}}{x^{2}}=\frac{2(x-5)^{2}+10x-50}{x^{2}}=\frac{2(x^{2}-10x+25)+10x-50}{x^{2}}=\frac{2x^{2}-20x+50+10x-50}{x^{2}}=\frac{2x^{2}-10x}{x^{2}}=\frac{x(2x-10)}{x^{2}}=\frac{2x-10}{x}[/tex].
b) Pour [tex]x=10[/tex]:
[tex]E=\frac{2 \times 10-10}{10}=\frac{10}{10}=1[/tex].
Oui, ce résultat était prévisible, car si x=10, il y a 10 chansons, dont 5 françaises et donc 5 étrangères, et donc la probabilité qu'il écoute une chanson étrangère est égale à la probabilité qu'il écoute une chanson française, et puisqu'il écoute 2 chansons, en moyenne, il écoutera une chanson française et une chanson étrangère, donc E=1.