Pour faire ce genre d'exercices, le plus simple est d'utiliser un tableau de signes quand la fonction s'écrit comme un produit ou un quotient et que les signes des deux facteurs ou du numérateur et du dénominateur varient.
Je suppose que tu sais trouver le signe d'une fonction affine.
1) [tex]\dfrac{x+2}{x+4}\leqslant 0[/tex] avec [tex]x\neq -4[/tex]
Je tente un tableau de signes (sans les traits, désolé !) :
[tex]\begin{array}{clcccccr} x & -\infty & & -4 & & -2 & & +\infty\\[3mm]x+2 & & - & \vert & - & 0 & +\\[3mm]x+4 & & - & 0 & + & \vert & +\\[3mm]\dfrac{x+2}{x+4} & & + & \Vert & - & 0 & +\end{array}[/tex]
Ainsi, l'ensemble des solutions est l'intervalle [tex]\left]-4;-2\right][/tex]
2) [tex]\dfrac{2x-3}{-x+5}\leqslant -2[/tex] avec [tex]x\neq 5[/tex].
On ajoute [tex]2[/tex] aux deux membres :
[tex]\dfrac{2x-3}{-x+5}+2\leqslant 0[/tex]
On écrit sous forme fractionnaire :
[tex]\dfrac{2x-3}{-x+5}+\dfrac{2(-x+5)}{-x+5}\leqslant 0[/tex]
soit :[tex]\dfrac{2x-3-2x+10}{-x+5}\leqslant 0[/tex]
Autrement dit :
[tex]\dfrac 7{-x+5}\leqslant 0[/tex]
Comme [tex]7[/tex] est positif, ceci équivaut à [tex]-x+5\leqslant 0[/tex], soit [tex]x\geqslant 5[/tex].
Comme [tex]x\neq 5[/tex], l'ensemble des solutions est l'intervalle [tex]\left]5;+\infty\right[[/tex]