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Réponse :
Un+1 = Un + 2/3
(Un) est une suite arithmétique de raison 2/3 et de premier terme 1
La suite (Un) est supérieure à 20 pour n≥29
La somme des termes consécutifs vaut 341
Explications étape par étape
1)
[tex]U_{n+1}=\frac{2(n+1)}{3}+1 = \frac{2n}{3}+\frac{2}{3}+1=U_n+\frac{2}{3}[/tex]
2) Il s'agit bien d'une suite arithmétique car on ajoute une constante pour passer d'un terme au suivant.
3)
[tex]U_n>20\\\\\frac{2n}{3}+1>20\\\\\frac{2n}{3}>19\\\\2n>57\\\\n>28,5[/tex]
Comme n est un entier on prendra n = 29
4)
On remarque qu'il s'agit de la somme des termes U0, U1, ..., U30
Notons S la somme, on utilise la formule pour calculer la somme d'une suite arithmétique de raison r=2/3 et de premier terme UO=1
[tex]S=\sum_{i=0}^{i=30}U_i\\\\S=(30+1)\frac{1+21}{2} \\\\S=341[/tex]