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Sagot :
C’est une question qui n’est a priori pas évidente, car je suppose qu’elle est faite par un élève de seconde ou de première.
Le déterminant de deux vecteurs est introduit pour mesurer le défaut de colinéarité de ces vecteurs. Le calcul correspond à une différence de produits en croix, et on sait que des produits en croix égaux correspondent à de la proportionnalité, donc à la colinéarité des vecteurs. Par conséquent, dire que deux vecteurs sont colinéaires revient à dire que leur déterminant est nul.
Mais la question que l’on peut se poser est « Que représente le déterminant de deux vecteurs, notamment lorsqu’il n’est pas nul ? »
Supposons qu’on ait fixé un repère (O,I,J) du plan, on a donc une unité d’aire qui correspondrait à celle du parallélogramme OIKJ, où K(1;1).
On a aussi une « orientation », qui consiste à tourner « autour de O » pour aller de I jusqu’à J. Cela peut-être dans le sens des aiguilles d’une montre ou bien dans le sens contraire.
Dans un repère orthonormé « classique » (avec abscisses positives vers la droite et ordonnées positives vers le haut) avec une unité de 1 cm par exemple, l’unité d’aire vaut 1 cm² et l’orientation consiste à tourner dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (ou sens direct).
Si je choisis deux vecteurs et que je les dessines en ayant la même origine, j’obtiens trois sommets d’un triangle, que je peux compléter en un parallélogramme. Par exemple, avec les vecteurs OI et OJ du repère dont j’ai parlé ci-dessus, on obtient le parallélogramme OIKJ.
Ainsi, lorsqu’on calcule un déterminant, qu’obtient-on ? On obtient un nombre réel qui peut-être positif ou négatif.
Il sera positif s’il faut tourner dans le sens de l’orientation pour aller le plus vite possible du premier au deuxième vecteur et négatif dans le cas contraire.
Si je ne tiens pas compte du signe (ce qu’on appelle distance à zéro ou plus souvent valeur absolue), le déterminant représente l’aire du petit parallélogramme dont j’ai parlé ci-dessus.
Ainsi, lorsqu’un déterminant est nul, on obtient une aire nulle, ce qui revient à dire que ledit parallélogramme est aplati, autrement dit que les vecteurs sont colinéaires.
Supposons que ABCD soit un parallélogramme. Alors au signe près, les déterminants dét(AB,AD), dét(BA,BC) ou dét(CB,CD) donnent l’aire de ce parallélogramme (il y a encore d’autres possibilités).
Revenons au repère orthonormé d’unité 1 cm que j’ai défini plus haut. Supposons qu’on ait un parallélogramme ABCD dessiné dans ce plan.
Si dét(AB,AD) = -2, cela signifie que l’aire de ABCD est de 2 cm² et que pour aller du vecteur AB vers le vecteur AD en moins d’un demi-tour, il faut tourner dans le sens des aiguilles d’une montre (ou sens indirect).
Revenons maintenant à la question posée, qui apparemment a été posée un peu au hasard :
que signifie dét(AB,CD) = dét(AC,BD) ?
Eh bien ce n’est pas évident géométriquement, mais cela revient plus ou moins à dire qu’on a non seulement une certaine égalité d’aire mais en plus une certaine façon de tourner pour aller d’un vecteur vers l’autre qui est la même.
Il n’est pas évident de dire sur cet exemple si on pourrait trouver une conséquence plus simple.
Je prends un autre exemple :
det(AB,AC) = det(AC,AB)
Les deux représentent la même aire au signe près mais l’orientation n’est pas la même.
Par conséquent ces deux déterminants sont nuls, donc AB et AC sont colinéaires, autrement dit A,B et C sont alignés. En fait, on a det(u,v)=-det(v,u) comme il est facile de le constater.
Je pourrai essayer de sortir plein d’exemples pour lesquels l’égalité de deux déterminants aurait une conséquence géométrique mais se serait un peu difficile à retenir.
Je pense que le plus important est de se souvenir de l’interprétation géométrique du déterminant (aire avec signe) et de son interprétation algébrique (mesure du défaut de colinéarité).
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