2) p est le nombre d’arêtes de chaque face, donc en multipliant ce nombre par le nombre de faces F, on va compter toutes les arêtes en double (puisqu’une arête appartient exactement à deux faces), donc pF vaut 2A.
q est le nombre d’arêtes se rencontrant à chaque sommet, donc en multipliant ce nombre par le nombre de sommets S, on va compter toutes les arêtes en double (puisque une arête joint deux sommets), donc qS vaut aussi 2A.
3) D’après la formule d’Euler, on a S-A+F = 2.
Or, d’après la question précédente, on a S=2A/q et F=2A/p, d’où 2A/q-A+2A/p = 2.
On ajoute A à chaque membre, ce qui donne :
2A/p + 2A/q = A + 2
On divise chaque membre par 2A, ce qui donne :
1/p + 1/q = 1/2 + 1/A
4) Comme A, le nombre d’arêtes, est strictement positif, on a 1/A > 0, donc en ajoutant 1/2 à chaque membre, on obtient :
1/2 + 1/A > 1/2 soit 1/p + 1/q > 1/2
5) Si on avait p ⩾ 6, alors 1/p ⩽ 1/6, et comme q ⩾ 3 on a 1/q ⩽ 1/3 et 1/p + 1/q serait donc inférieur ou égal à 1/6 + 1/3 = 1/2. Par conséquent, si (p,q) est un couple solution, on a p ⩽ 5. Comme p et q jouent un rôle symétrique, le même raisonnement montre que q ⩽ 5.
Si p = 3, alors 1/p = 1/3, donc on veut 1/q > 1/2 - 1/3 = 1/6, donc q < 6.
Par conséquent on a trois solutions avec p = 3, qui sont q = 3, ou q = 4 ou q = 5.
Si p = 4, on a 1/q > 1/2 - 1/4 = 1/4, soit q < 4, donc q = 3.
Si p = 5, on a 1/q > 1/2 - 1/5 = 3/10, soit q < 10/3, donc q = 3.
En résumé on a cinq couples solutions pour (p;q) qui sont : (3;3), (3;4), (3;5), (4;3) et (5;3).
6) (3;3) tétraèdre
(3;4) octaèdre
(3;5) icosaèdre
(4;3) cube
(5;3) dodécaèdre
