Bonjour,
1. Les valeurs de x sont comprises entre 0 et 5,car comme on peut le voir sur le schéma sur la largeur (10) il y a 2 carrés oranges, donc 2 fois la longueur x.
x = 10 ÷ 2 = 5
2. On va utiliser l'aire de la base rectangulaire (L×l) multiplié par la hauteur(x)
Aire base = (10 - 2x)(16 - 2x)
• Donc V(x) = Aire base × hauteur
V(x) = (10 - 2x)(16 - 2x)x
V(x) = (160 - 20x - 32x + 4x²)x
V(x) = (160 - 52x + 4x²)x
V(x) = 4x³ - 52x² + 160x
3. V'(x) = 4×3x² - 52×2x + 160×1
V'(x) = 12x² - 104x + 160
∆ = b² - 4ac = (-104)² - 4×12×160 = 3 136 > 0
Il y a donc 2 solutions.
x1 = (-b-√∆)/2a
x1 = [-(-104-√3136)]/(2×12)
x1 = 2
x2 = (-b+√∆)/2a
x2 = [-(-104+√3136)]/(2×12)
x2 = 160/24 = 20/3
x. | 0. 2. 5
V'(x) |. + 0 -
V(x) | croissant144decroissant
4) V(2) = 4×2³ - 52×2² + 160×2 = 144
Donc le volume est maximal pour x = 2, pour un volume de 144.
