Bonjour
Réponse :
Exercice 91 :
a) Tracer un triangle rectangle PQR rectangle en Q tel que PQ = 5 cm et l'angle PRQ = 40°
Je ne peux hélas faire la figure dans ce cadre mais je suppose que tu peux y parvenir sans aide, après tout ce n'est qu'un triangle rectangle à tracer et tu devrais t'en sortir !
b) Tracer avec le compas et la règle la médiatrice de [QP] elle coupe (PR) en I et (QP) en J.
Tu ouvres ton compas par exemple à 3 cm.
Puis tu piques sur Q et tu traces un large arc de cercle
puis tu piques en P et tu traces un second arc de cercle.
Tu traces la médiatrice exactement en passant par les deux "croisements" en haut et en bas des arcs de cercle... Tu places les points J (milieu de PQ) et I (milieu de PR)comme indiqué.
c) Prouver que IQP est un triangle isocèle et en déduire la mesure de l'angle QIP.
La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points du plan qui sont équidistants des extrémités de ce segment.
La somme des angles d'un triangle étant égale à 180°, alors on peut calculer la mesure de l'angle RPQ
Angle RPQ = 180° - (90 + 40)
Angle RPQ = 180° - (130°)
Angle RPQ = Angle IPQ= 50°
Or la médiatrice d'un segment est un axe de symétrie de ce segment.
On peut en déduire que les angles IPQ et IQP sont de même mesure donc IQP=50°
d) Prouver que les droites (QP) et (IJ) sont perpendiculaires.
La médiatrice d'un segment est la droite qui est perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu.
IJ est donc perpendiculaire à PQ et passe en son milieu.
e) Calculer les angles PIJ,IQP et QIP.
Considérons le triangle PIQ donc la somme des angles est égale à 180°;
Comme nous savons que les deux angles de la base son t égaux à 50°, alors on peut calculer la mesure de l'angle QIP.
Angle QIP = 180° - (50+50)
Angle QIP = 180 - 100
Angle QIP = 80°
Angle PIJ = Angle JIQ = 80 / 2 = 40°
Angle IQP = 50°
f) En déduire que IQ = IR
Angle RQI = Angle RQP - Angle IQP
Angle RQI = 90° - 50°
Angle RQI = 40°
Ainsi on peut affirmer que l'angle RQI est égal à l'angle PRQ (par construction), c'est-à-dire 40°.
Les deux angles de la base du triangle QIR étant de même mesure, on peut en déduire que le triangle QIR est isocèle en I
Or, dans un triangle isocèle les deux côtés sont égaux d'où IQ = IR
g) Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle PQR? Tracer ce cercle.
Le centre du cercle circonscrit est le point I, milieu de PR, hypoténuse du triangle PQR mais aussi diamètre du cercle circonscrit au triangle PQR.
En effet dans le triangle rectangle PQR, QI est la médiane issue du somme de l'angle droit donc elle est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse.
