Réponse : Bonjour,
Exercice 89
1) Les points M et M' appartiennent à la parabole d'équation [tex]x \mapsto -\frac{1}{2}x^{2}[/tex], donc [tex]M(a;-\frac{1}{2}a^{2})[/tex], M' est le symétrique de M, par rapport à l'axe des ordonnées du repère , donc [tex]M(-a;-\frac{1}{2}a^{2})[/tex].
2) La tangente (BM) est la tangente à la parabole au point d'abscisse [tex]a[/tex], donc une équation de (BM) est:
[tex]x \mapsto -ax+\frac{a^{2}}{2}[/tex].
La tangente (BM') est la tangente à la parabole au point d'abscisse [tex]-a[/tex], donc une équation de (BM') est:
[tex]x \mapsto -(-a)x+\frac{(-a)^{2}}{2}=ax+\frac{a^{2}}{2}[/tex]
3) Le point S est l'intersection des tangentes (BM) et (BM'), donc l'abscisse [tex]x[/tex] du point S est solution de l'équation:
[tex]-ax+\frac{a^{2}}{2}=ax+\frac{a^{2}}{2}\\-ax-ax=0\\-2ax=0\\x=0[/tex].
L'ordonnée du point S est l'image de 0, par l'équation de l'une des tangentes, on prend l'équation de (BM) (mais on aurait pu prendre l'équation de (BM')):
[tex]-a \times 0+\frac{a^{2}}{2}=\frac{a^{2}}{2}[/tex].
Donc l'ordonnée du point S est [tex]\frac{a^{2}}{2}[/tex].
4) On suppose que le triangle MM'S est rectangle en S. On applique donc le théorème de Pythagore dans ce triangle:
[tex]MM'^{2}=MS^{2}+M'S^{2}\\MS^{2}=(0-a)^{2}+(\frac{a^{2}}{2}-(-\frac{1}{2}a^{2}))^{2}=a^{2}+a^{4}\\M'S^{2}=(0-(-a))^{2}+(\frac{a^{2}}{2}-(-\frac{1}{2}a^{2}))^{2}=a^{2}+a^{4}\\MM'^{2}=(-a-a)^{2}+(-\frac{1}{2}a^{2}-(-\frac{1}{2}a^{2}))^{2}=(-2a)^{2}=4a^{2}\\Donc \; 4a^{2}=2a^{2}+2a^{4}\\2a^{2}=2a^{4}\\2a^{4}-2a^{2}=0\\2(a^{4}-a^{2})=0\\2(a^{2}(a^{2}-1))=0\\a^{2}(a^{2}-1)=0[/tex].
Donc si le triangle MM'S est rectangle en S, alors nécessairement [tex]a^{2}(a^{2}-1)=0[/tex].
Supposons maintenant que [tex]a^{2}(a^{2}-1)=0[/tex], alors d'après ce qui précède:
[tex]MS^{2}=a^{2}+a^{4}\\M'S^{2}=a^{2}+a^{4}\\MM'^{2}=4a^{2}\\MM'^{2}-MS^{2}-M'S^{2}=4a^{2}-2a^{2}-2a^{4}=2a^{2}-2a^{4}=2(a^{2}-a^{4})=2(a^{2}(1-a^{2}))=0[/tex].
Par hypothèse, [tex]a^{2}(a^{2}-1)=0[/tex], et les racines de [tex]a^{2}-1[/tex] et [tex]1-a^{2}[/tex], sont les mêmes, donc :
[tex]MM'^{2}-MS^{2}-M'S^{2}=2(a^{2}(1-a^{2}))^{2}=0[/tex].
Donc [tex]MM'^{2}=MS^{2}+M'S^{2}[/tex], d'après la réciproque du théorème de Pythagore , le triangle MM'S est rectangle en S.
Par suite, le triangle MM'S est rectangle en S, si et seulement si [tex]a^{2}(a^{2}-1)=0[/tex].
5) Les deux poutres sont perpendiculaires si et seulement si:
[tex]a^{2}(a^{2}-1)=0\\a^{2}(a-1)(a+1)=0\\a=0 \quad ou \quad a=1 \quad a=-1[/tex].
Comme [tex]a \ne 0[/tex], alors il faut faire reposer une poutre au point d'abscisse -1 et l'autre poutre au point d'abscisse 1.
