Réponse : Bonjour,
1) [tex]U_{n+1}=\sum_{k=1}^{n+1} k^{2}=(n+1)^{2}+\sum_{k=1}^{n} k^{2}=(n+1)^{2}+U_{n}[/tex].
Le premier terme [tex]U_{1}[/tex] de la suite est:
[tex]U_{1}=1^{2}=1[/tex].
2) [tex]W_{1}=\frac{1(1+1)(2 \times 1+1)}{6}=\frac{1 \times 2 \times 3}{6}=1[/tex].
[tex]W_{n+1}-W_{n}=\frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+2+1)-n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{(n+1)[(n+2)(2n+3)-n(2n+1)]}{6}=\frac{(n+1)[2n^{2}+3n+4n+6-2n^{2}-n]}{6}=\frac{(n+1)(6n+6)}{6}=\frac{(n+1)(6(n+1))}{6}=(n+1)^{2}[/tex].
Donc [tex]W_{n+1}-W_{n}=(n+1)^{2} \quad donc \quad W_{n+1}=(n+1)^{2}+W_{n}[/tex].
3) Les deux suites [tex]U_{n}[/tex] et [tex]W_{n}[/tex] ont le même premier terme 1, et chaque terme des suites [tex]U_{n}[/tex] et [tex]W_{n}[/tex], se déduit du précédent par la même relation, donc ces deux suites sont égales, on en déduit donc que:
[tex]U_{n}=W_{n}\\\sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]
