Bonjour ;
Partie A .
1.
La tangente à Cf au point A(3 ; 90) passe aussi par le point B(5 ; 102) ,
donc son coefficient directeur est : (102 - 90)/(5 - 3) = 12/2 = 6 .
Ce coefficient directeur est aussi égal à : f ' (3) ;
donc on a : f ' (3) = 6 .
2.
D'après le premier graphique , on a : f ' (3) = 90 ; ce qui est faux ;
donc ce graphique est à écarter .
D'après Cf , la fonction f admet un maximum pour x ∈ [0 ; 3] ;
donc f ' s'annule sur [0 ; 3] ; donc on écarte le troisième graphique
même si il indique : f ' (3) = 6 .
Il reste donc le deuxième graphique où la courbe la courbe représentative
de f ' touche l'axe des abscisses pour un x appartenant à [0 ; 3] .
Conclusion : C'est le deuxième graphique qui représente la fonction f ' .
Partie B .
1.
f ' (x) = (x³ - 5x² + 9x + 81) ' = (x³) ' - 5(x²) ' + 9(x) ' + (81) '
= 3x² - 10x + 9 + 0 = 3x² - 10x + 9 .
2.
On a : f ' (x) = 0 ;
donc : Δ = 100 - 108 = - 8 ;
donc f ' ne s'annule pas et garde toujours le signe de son
coefficient de second degré qui est : 3 > 0 ;
donc f ' est strictement positive sur [0 ; 10] .
3.
On a : f(9/2) = 891/8 = 111,375 et f ' (9/2) = 99/4 = 24,75 ;
donc on a : 24,75 = (y - 111,375)/(x - 4,5) ;
donc : 24,75x - 24,75 * 4,5 = y - 111,375 ;
donc : 24,75x - 111,375 = y - 111,375 ;
donc : y = 24,75x .
Je te laisse l'honneur de la tracer .