Bonjour,
1a) f(0) = -4 car le point A(0;-4) appartient à la courbe C.
b) f'(0) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A(0;-4).
Cette tangente passe également par le point B(2;-6).
Donc f'(0) = (-6 + 4)/(2 - 0)
= (-2)/2
= -1
2a) [tex]f'(x)=(x+a)'e^{bx}+(e^{bx})'(x+a)\\\\f'(x)=1\times e^{bx}+be^{bx}(x+a)\\\\f'(x)=[1+b(x+a)]e^{bx}\\\\f'(x)=(bx+ab+1)e^{bx}[/tex]
b) [tex]f(0)=-4\Longrightarrow(0+a)e^{0}=-4\Longrightarrow a\times1=-4\Longrightarrow a=-4[/tex]
[tex]f(0)=-1\Longrightarrow (b\times0+ab+1)e^{0}=-1\Longrightarrow ab+1=-1\\\\\Longrightarrow ab=-2[/tex]
Or a = -4
Donc -4b = -2 ===> b = (-2)/(-4)
b = 0,5.
Par conséquent [tex]f(x) = (x-4)e^{0,5x}[/tex]
Partie B.
1) Remplaçons a et b par leurs valeurs dans l'expression de f'(x).
[tex]f'(x)=(bx+ab+1)e^{bx}\\\\f'(x)=(0,5x-4\times0,5+1)e^{0,5x}\\\\f'(x)=(0,5x-1)e^{0,5x}[/tex]
Signe de f'(x).
Racine de f'(x) : 0,5x-1=0 ==> 0,5x=1 ==> x = 1/0,5 ==> x = 2
e^(05x) = 0 ==> impossible car e^(0,5x) > 0
[tex]
\begin{array}{|c|ccccc||}x&-\infty&&2&&+\infty\\ 0,5x-1&&-&0&+&\\ e^{0,5x}&&+&+&+&\\ f'(x)&&-&0&+&\\ f(x)&&\searrow&-5,4&\nearrow& \\\end{array}
[/tex]
2) L'équation de la tangente est de la forme : y = f '(0)(x - 0) + f(0)
y = (-1)*x + (-4)
y = -x + 4.
3) [tex]f''(0)=[(0,5x-1)e^{0,5x}]'\\\\=(0,5x-1)'e^{0,5x}+(e^{0,5x})'(0,5x-1)\\\\=0,5e^{0,5x}+0,5e^{0,5x}(0,5x-1)\\\\=[1+(0,5x-1)]0,5e^{0,5x}\\\\=0,5x\times0,5e^{0,5x}\\\\=0,25xe^{0,5x}[/tex]
4) Signe de f ''(x)
[tex]
\begin{array}{|c|ccccc||}x&-\infty&&0&&+\infty\\ 0,25x&&-&0&+&\\ e^{0,5x}&&+&+&+&\\ f''(x)&&-&0&+&\\\end{array}
[/tex]
Comme f"(x) change de signe uniquement autour de x = 0, le point A(0;-4) est le seul point d'inflexion.
f"(x) < 0 si x < 0 ===> la concavité de f est négative sur ]-inf ; 0[
f"(x) > 0 si x > 0 ===> la concavité de f est positive sur ]0;+inf[;
La courbe change de concavité au point A.
5) f est continue car f est le produit d'une fonction affine continue par une fonction exponentielle continue.
g est continue car g est la différence de la fonction f continue et d'une fonction affine continue.
6) g(0) = f(0) -(0-4)
= -4 + 4
= 0
Puisque g est croissante sur R et que g(0) = 0, on en déduit que
g < 0 sur ]-inf ;0 [
g > 0 sur ]0 ; +inf[
7) Par conséquent
Sur ]-inf ;0[, f(x)-(-x+4) < 0 ===< la courbe C est en-dessous de la tangente D
Sur ]0 ; +inf[, f(x)-(-x+4) > 0 ===< la courbe C est au-dessus de la tangente D
En (0 ; -4), la tangente D traverse la courbe C
Le point A(0 ; -4) est donc un point d'inflexion.
