Bonjour,
Ex 1
1)Double distributivité.
[tex]\left(2n+1\right)\left(2n+1\right) = 2n\times 2n +1\times 2n +1\times 2n +1\times 1 = 4n^2+4n+1[/tex]
Note : en 3e, tu verras une formule qui permet de développer rapidement ce genre d'expressions. =)
2)Cette formule donne le carré d'un nombre impair, si n est un entier naturel, alors (2n+1) est impair et (2n+1)² est le carré de ce nombre impair.
Cette expression est égale à 4n²+4n+1, or 4n²+4n = 4(n²+n), nombre pair, auquel on ajoute 1 et qui est donc impair : le carré d'un nombre impair est toujours impair.
Ex 2
1)
a)
[tex]\sqrt 2 = \frac ab\\
\left(\sqrt 2\right)^2 = \frac{a^2}{b^2}\\
2 = \frac {a^2}{b^2}\\
2b^2 = a^2[/tex]
b)Quelle que soit la valeur de b, 2b² est forcément pair.
a² est donc pair. On a montré, à l'exercice 1, que si un nombre est impair, alors son carré est impair. Comme le carré de a n'est pas impair, on peut en déduire que a n'est pas impair : a est donc pair.
2)
a)
[tex]a^2 = \left(2c\right)^2 = 4c^2\\
a^2 = 2b^2 \\
4c^2 = 2b^2\\
b^2 = 2c^2[/tex]
b)Comme le carré de b est pair, alors b est un nombre pair.
3)
a)Comme a et b sont tous deux multiples de 2, la fraction a/b ne peut pas être irréductible (car on peut la simplifier par 2).
b)Donc le nombre √2 ne peut pas s'écrire sous la forme a/b, qui serait une fraction irréductible : ce n'est pas un nombre rationnel.
[tex]\sqrt 2 \not \in \mathbb Q[/tex]
Si tu as des questions, n'hésite pas ! =)
