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Bonjour , je n’arrive pas du tout à faire mon exercice pour demain pouvez-vous m’ai S’il vous plaît Mercii


Soit la suite u définie sur n par u0=1 et pour tout entier n,un+1=un/2un+1
1)a) calculer les quartes premiers thermes de la suite u
B) la suite u est elle arithmétique
2) en utilisant la fonction f:x—>x/2x+1 définie sur ]0;+infini[,justifier que pour tout n appartenant N ,Un>0
3) on appelle v la suite définie sur N par Vn=1/Un
A) démontrer que la suite v est arithmétique. On précisera son premier terme et sa raison.
B) en déduire l’expression de Vn’ puis celle de Un en fonction de n.
4) étudier les variations de u.
5)a) a l’aide de là calculatrice conjecturer la limite de u
B) à partir de quel rang N a-t-on pour tout entier n >ou égal N , 0

Merciii beaucoup je n’arrive vraiment pas


Sagot :

Réponse :

1) a) calculer les quatre premiers termes de la suite (Un)

Un+1 = Un/(2Un + 1)

U1 = U0/(2U0+1) = 1/(2*1 + 1) = 1/3

U2 = U1/(2U1+1) = 1/3/5/3 = 1/5

U3 = U2/(2U2 + 1) = 1/5/7/5 = 1/7

U4 = U3/(2U3 + 1) = 1/7/9/7 = 1/9

b) la suite U est -elle arithmétique

U1 - U0 = 1/3 - 1 = - 2/3

U2 - U1 = 1/5 - 1/3 = - 2/15

U3 - U2 = 1/7 - 1/5 = - 2/35

U1 - U0 ≠ U2 - U1 ≠ U3 - U2  ⇒ donc U n'est pas une suite arithmétique

2) en utilisant la fonction f: x → x/(2 x + 1) définie sur ]0 ; + ∞[ justifier que pour tout n ∈ N, Un > 0

calculons la dérivée de la fonction f

f '(x) = [(2 x + 1) - 2 x]/(2 x+1)² = 1/(2 x+1)²

f '(x) > 0 sur ]0 ; + ∞[  donc f est croissante sur ]0 ; + ∞[ et Un est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[  donc Un > 0

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