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Sagot :
Réponse :
1) a) calculer les quatre premiers termes de la suite (Un)
Un+1 = Un/(2Un + 1)
U1 = U0/(2U0+1) = 1/(2*1 + 1) = 1/3
U2 = U1/(2U1+1) = 1/3/5/3 = 1/5
U3 = U2/(2U2 + 1) = 1/5/7/5 = 1/7
U4 = U3/(2U3 + 1) = 1/7/9/7 = 1/9
b) la suite U est -elle arithmétique
U1 - U0 = 1/3 - 1 = - 2/3
U2 - U1 = 1/5 - 1/3 = - 2/15
U3 - U2 = 1/7 - 1/5 = - 2/35
U1 - U0 ≠ U2 - U1 ≠ U3 - U2 ⇒ donc U n'est pas une suite arithmétique
2) en utilisant la fonction f: x → x/(2 x + 1) définie sur ]0 ; + ∞[ justifier que pour tout n ∈ N, Un > 0
calculons la dérivée de la fonction f
f '(x) = [(2 x + 1) - 2 x]/(2 x+1)² = 1/(2 x+1)²
f '(x) > 0 sur ]0 ; + ∞[ donc f est croissante sur ]0 ; + ∞[ et Un est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[ donc Un > 0
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