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Bonjour c’est pour demain et je n’y arrive pas du tout ; (

Soit la suite u définie sur n par u0=1 et pour tout entier n,un+1=un/2un+1
1)a) calculer les quartes premiers thermes de la suite u
B) la suite u est elle arithmétique
2) en utilisant la fonction f:x—>x/2x+1 définie sur ]0;+infini[,justifier que pour tout n appartenant N ,Un>0
3) on appelle v la suite définie sur N par Vn=1/Un
A) démontrer que la suite v est arithmétique. On précisera son premier terme et sa raison.
B) en déduire l’expression de Vn’ puis celle de Un en fonction de n.
4) étudier les variations de u.
5)a) a l’aide de là calculatrice conjecturer la limite de u
B) à partir de quel rang N a-t-on pour tout entier n >ou égal N , 0

Merci de m’aider

Sagot :

Réponse :

U(n+1)=Un/(2Un +1) avec  U0=1

U1=1/(2+1)=1/3;  U2=(1/3)/[2*(1/3)+1]=(1/3)/(5/3)=1/5; ....je te laisse calculer U3 et U4

3)Vn=1/Un

V(n+1)=1/U(n+1)=1/[Un/(2Un +1)]=(2Un  +1)/Un

Vn est une suite arithmétique su V(n+1)-Vn=cste

ce qui donne (2Un  +1)/Un-1/Un=2Un/Un=2

Vn est donc une suite arithmétique de raison r=2 et avec Vo=1/Uo=1

Vn=1+2n

déterminons Un en fonction de n on sait que Vn=1/Un donc Un=1/Vn

soit Un=1/(1+2n)

Un est une fonction de n sa dérivée est -2/(1+2n)²; cette dérivée est toujours<0 donc Un est décroissante

la limite de Un quand n tend vers +oo est   1/+oo=0+

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