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Tiwing
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Salut je souhaite de l'aide pour mon dm de maths merci d'avance.
On considère une fonction f définie sur R par :
f(x) = (-x2 + x)e-x+2 + 1
1.a. Déterminer la limite de la fonction f en -oo.
1.b. Vérifier que pour tout nombre réel x, f(x) peut s'écrire sous la forme suivante : f(x) = e^2 (x/e^x - x^2/e^x)+1
1.c. En déduire la limite de f en +oo Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2.a. Montrer que la fonction dérivée f' de la fonction f est définie sur R par : f'(x) = (x^2 – 3x + 1)e^(-x+2)
2.b. Etudier le signe de f'.
2.c. Etablir le tableau de variation de f en justifiant ses variations.
3. Déterminer les coordonnées des points d'intersections de la courbe de f et de la droite d'équation y = 1.
4. Soit h la fonction définie sur R par : h(x) = (-x^2 + x)e^(-x+2)
4.a. Montrer que la fonction H définie sur R par H(x) = (x2 + x + 1)e^(-x+2) est une primitive de la fonction h.
4.b. En déduire l'ensemble des primitives de la fonction f.
4.c. Déterminer la primitive F de f vérifiant F(2) = 5.​

Sagot :

Croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape :

■ f(x) = (x-x²) exp(2-x) + 1 .

■ 1a) Limite pour x --> -∞ :

   Lim f(x) = Lim -x² exp(-x) = -∞ .

■ 1b et c) Lim f(x) pour x --> +∞ :

   f(x) = [ e² (x-x²) / exp(x) ] + 1

   donc Lim f(x) = Lim [ -x² / exp(x) ] + 1

                         = 1 .

   la courbe admet comme asymptote

    à droite la droite horizontale

    d' équation y = 1 ( La courbe sera

    sous cette asymptote à l' infini ) .

■ 2a) dérivée :

   f ' (x) = (1-2x) exp(2-x) - (x-x²) exp(2-x)

           = ( x² - 3x + 1 ) exp(2-x) .

■ 2b) étude du signe :

   x² - 3x + 1 ≈ (x-0,382) (x-2,618)

   la dérivée est donc positive

pour x ∈ ] -∞ ; 0,382 [ U ] 2,618 ; +∞ [ .

■ 2c) tableau :

    x -->  -∞       -0,11       0,382      1,391     2,618     4,99      +∞

f ' (x) ->                +             0              -           0           +

 f(x) -->  -∞          0          2,19           0        -1,28        0          1

■ 3°) intersection :

         J ( 0 ; 1 )   et   K ( 1 ; 1 ) .

■ 4a) dérivons la Primitive :

   H ' (x) = (2x+1) exp(2-x) - (x²+x+1) exp(2-x)

             = (-x²+x) exp(2-x) = h(x) .

■ 4b) les Primitives de la fonction f sont donc :

         F(x) = (x²+x+1) exp(2-x) + constante .

■ 4c) F(2) = 7 exp(0) + constante

                = 7 + constante = 5

               donc constante = -2

         d' où F(x) = (x²+x+1) exp(2-x) - 2 .

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