Réponse : Bonjour,
Exercice 44
On calcule [tex]u_{n+1}-u_{n}[/tex]:
[tex]u_{n+1}-u_{n}=\frac{(n+1)^{2}-(n+1)-2}{n+2}-\frac{n^{2}-n-2}{n+1}\\u_{n+1}-u_{n}=\frac{(n^{2}+2n+1-n-1-2)(n+1)-((n^{2}-n-2)(n+2))}{(n+2)(n+1)}\\u_{n+1}-u_{n}=\frac{(n^{2}+n-2)(n+1)-(n^{2}-n-2)(n+2)}{(n+2)(n+1)}\\u_{n+1}-u_{n}=\frac{n^{3}+n^{2}+n^{2}+n-2n-2-(n^{3}+2n^{2}-n^{2}-2n-2n-4)}{(n+2)(n+1)}\\u_{n+1}-u_{n}=\frac{n^{3}+2n^{2}-n-2-n^{3}-2n^{2}+n^{2}+4n+4}{(n+2)(n+1)}\\u_{n+1}-u_{n}=\frac{n^{2}+3n+2}{(n+2)(n+1)}[/tex].
Or [tex](n+2)(n+1)=n^{2}+n+2n+2=n^{2}+3n+2[/tex], donc:
[tex]u_{n+1}-u_{n}=\frac{(n+1)(n+2)}{(n+2)(n+1)}=1[/tex].
[tex]u_{n+1}-u_{n}=1[/tex], donc u est une suite arithmétique de raison 1.
Exercice 45
u est une suite arithmétique, donc:
[tex]u_{12}=u_{5}+(12-5)r\\20=6+7r\\7r=20-6\\7r=14\\r=2[/tex].
Donc u est une suite arithmétique de raison 2.
On calcule finalement [tex]u_{0}[/tex]:
[tex]u_{5}=u_{0}+(5-0) \times 2\\u_{0}=u_{5}-(5-0) \times 2\\u_{0}=u_{5}-10\\u_{0}=6-10\\u_{0}=-4[/tex].
