Réponse : Bonsoir,
Pour montrer que pour tout entier naturel n, [tex]0 \leq u_{n} < 3[/tex], il faut remarquer que [tex]u_{n}=f(n)[/tex] avec [tex]f(n)=\frac{3n}{n+1}[/tex].
On pose pour tout [tex]x \in \mathbb{R}, f(x)=\frac{3x}{x+1}[/tex], on prend x réel, et bien évidemment les entiers naturels sont inclus dans l'ensemble des réels.
On va étudier les variations de f sur [tex][0;+\infty[[/tex]. Pour cela, on calcule la fonction dérivée f' de f:
[tex]f'(x)=\frac{3(x+1)-1(3x)}{(x+1)^{2}}=\frac{3x+3-3x}{(x+1)^{2}}=\frac{3}{(x+1)^{2}}[/tex].
Le numérateur et le dénominateur de f' sont strictement positifs, pour tout [tex]x \in [0;+\infty[[/tex], on a donc le tableau de variations suivant:
x 0 +∞
f'(x) +
f(x) f(0)=0 (croissant) 3
Il ne reste plus qu'à calculer [tex]\lim_{x \mapsto +\infty} f(x)=\lim_{x \mapsto +\infty} \frac{3x}{x+1}[/tex]:
[tex]\lim_{x \mapsto +\infty} \frac{3x}{x+1}=\lim_{x \mapsto +\infty} \frac{x(3)}{x(1+\frac{1}{x})}=\lim_{x \mapsto +\infty} \frac{3}{1+\frac{1}{x}}=3[/tex].
Donc d'après le tableau de variations précédents, pour tout [tex]x \in [0;+\infty[, f(0) \leq f(x) < 3[/tex].
Par suite, pour tout entier naturel n, [tex]0 \leq u_{n} < 3[/tex].
