Bonsoir,
Pour éviter de compliquer les choses, le paradoxe de la dichotomie énoncé Zénon dit ceci : si je lance une pierre vers un arbre situé, disons à 8 mètres de moi, alors la pierre ne pourra jamais atteindre l'arbre.
L'idée est simple : pour atteindre l'arbre, la pierre doit d'abord parcourir la moitié de la distance, soit 4 mètres, ce qui se fait en un temps non nul. Puis elle doit parcourir la moitié de ce qui reste, soit deux mètres, en un temps non nul, puis un mètre, un demi-mètre et ainsi de suite. L'arbre ne pourra donc jamais être atteint puisqu'il faut que la pierre franchisse une infinité d'étapes.
Cependant, cet argument repose sur le fait qu'une somme infinie de termes ne peut pas être finie, ce qui est faux (c'est ce que l'on appelle des séries convergentes). Justement, c'est ce que l'on observe ici. Imaginons que la pierre se déplace à une vitesse constante [tex]v[/tex] et qu'elle doive parcourir une distance totale [tex]d[/tex]. Notons enfin [tex]t=\frac{d}{v}[/tex]. Alors la première étape s'effectue en un temps [tex]t_1=\frac{d/2}{v} =\frac{t}{2}[/tex]. La deuxième s'effectue en [tex]t_2=\frac{d/4}{v} =\frac{t}{2^2}[/tex] et il en réitérant le raisonnement, la nième étape s'effectue en [tex]t_n=\frac{t}{2^n}[/tex].
Par conséquent, à l'instant n, le temps total mis par la pierre est [tex]T_n=t_1+\cdots+t_n=t\left(\frac{1}{2} +\cdots+\frac{1}{2^n}\right) =t(1-1/2^n)[/tex] (somme des termes d'une suite géométrique). En passant à la limite en [tex]n[/tex], on trouve donc [tex]T_\infty=t[/tex]. Par conséquent, la pierre aura franchi cette infinité d'étapes en un temps fini, donc elle va atteindre l'arbre.
On retrouve par ailleurs le résultat donné par un second argument, de nature plus physique. Si l'on conserve les notations [tex]d[/tex] et [tex]v[/tex], on sait par la physique (à l'aide de la célèbre formule) que la pierre parcourra la distance [tex]d[/tex] à la vitesse moyenne [tex]v[/tex] en un temps [tex]t=\frac{d}{v}[/tex]. Et c'est exactement la valeur obtenue pour [tex]T_\infty[/tex] précédemment.
Remarque: Je ne sais pas si ces deux arguments sont ceux attendus pour la question, mais à mon sens ils illustrent assez bien en quoi le paradoxe n'en est pas vraiment un (même s'il a fallu des siècles pour le prouver).
