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Sagot :
Bonsoir,
[tex]y=\dfrac{ax+b}{x+c}[/tex]
1) A(-8;0) appartient à la courbe ===> [tex]\dfrac{a\times(-8)+b}{-8+c}=0\\\\\dfrac{-8a+b}{-8+c}=0\\\\-8a+b=0[/tex]
C(-6;6) appartient à la courbe ===> [tex]\dfrac{a\times(-6)+b}{-6+c}=6\\\\\dfrac{-6a+b}{c-6}=6\\\\-6a+b=6(c-6)[/tex]
Le coefficient directeur de la tangente au point C(-6;6) est égale à 2
=== f '(-6) = 2
Calcul de f'(x).
[tex]f'(x)=(\dfrac{ax+b}{x+c})'=\dfrac{(ax+b)'(x+c)-(x+c)'(ax+b)}{(x+c)^2}\\\\=\dfrac{a(x+c)-1\times(ax+b)}{(x+c)^2}\\\\=\dfrac{ax+ac-ax-b}{(x+c)^2}\\\\=\dfrac{ac-b}{(x+c)^2}[/tex]
[tex]f'(-6)=2\\\\\dfrac{ac-b}{(-6+c)^2}=2\\\\ac-b=2(c-6)^2[/tex]
Par conséquent :
[tex]\left\{\begin{matrix}-8a+b=0\\-6a+b=6(c-6)\\ ac-b=2(c-6)^2\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}b=8a\\-6a+8a=6(c-6)\\ ac-b=2(c-6)^2\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}b=8a\\2a=6(c-6)\\ ac-b=2(c-6)^2\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}b=8a\\a=3(c-6)\\ ac-b=2(c-6)^2\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}b=8a\\a=3(c-6)\\ 3(c-6)\times c-8\times3(c-6)=2(c-6)^2\end{matrix}\right.\\\\\\3c(c-6)-24(c-6)-2(c-6)^2=0\\\\\\(c-6)[3c-24-2(c-6)]=0\\\\c-6=0\ \ ou\ \ 3c-24-2(c-6)=0[/tex]
c - 6 = 0 ===> c = 6 (impossible car la courbe ne serait pas définie au point C)
3c - 24 - 2(c - 6) = 0
3c - 24 - 2c + 12 = 0
3c - 2c = 24 - 12
c = 12
D'où a = 3(c - 6) = 3(12 - 6) = 3*6 = 18 ===> a = 18.
b = 8a ===> b = 8*18
b = 144
Par conséquent, l'équation de la courbe est [tex]y=\dfrac{18x+144}{x+12}[/tex]
2) La hauteur totale de la voûte sera donnée par x = 0.
Dans ce cas , y = 144/12 = 12.
La hauteur totale de la voûte est égale à 12 mètres.
3) Si la largeur de la voûte est égale à 6 m, alors x = -3.
Dans ce cas, [tex]y=\dfrac{18\times(-3)+144}{-3+12}=\dfrac{90}{9}=10[/tex]
A partir d'une hauteur supérieure à 10 m, la largeur de la voûte sera inférieure à 6 m.
[tex]y=\dfrac{ax+b}{x+c}[/tex]
1) A(-8;0) appartient à la courbe ===> [tex]\dfrac{a\times(-8)+b}{-8+c}=0\\\\\dfrac{-8a+b}{-8+c}=0\\\\-8a+b=0[/tex]
C(-6;6) appartient à la courbe ===> [tex]\dfrac{a\times(-6)+b}{-6+c}=6\\\\\dfrac{-6a+b}{c-6}=6\\\\-6a+b=6(c-6)[/tex]
Le coefficient directeur de la tangente au point C(-6;6) est égale à 2
=== f '(-6) = 2
Calcul de f'(x).
[tex]f'(x)=(\dfrac{ax+b}{x+c})'=\dfrac{(ax+b)'(x+c)-(x+c)'(ax+b)}{(x+c)^2}\\\\=\dfrac{a(x+c)-1\times(ax+b)}{(x+c)^2}\\\\=\dfrac{ax+ac-ax-b}{(x+c)^2}\\\\=\dfrac{ac-b}{(x+c)^2}[/tex]
[tex]f'(-6)=2\\\\\dfrac{ac-b}{(-6+c)^2}=2\\\\ac-b=2(c-6)^2[/tex]
Par conséquent :
[tex]\left\{\begin{matrix}-8a+b=0\\-6a+b=6(c-6)\\ ac-b=2(c-6)^2\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}b=8a\\-6a+8a=6(c-6)\\ ac-b=2(c-6)^2\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}b=8a\\2a=6(c-6)\\ ac-b=2(c-6)^2\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}b=8a\\a=3(c-6)\\ ac-b=2(c-6)^2\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}b=8a\\a=3(c-6)\\ 3(c-6)\times c-8\times3(c-6)=2(c-6)^2\end{matrix}\right.\\\\\\3c(c-6)-24(c-6)-2(c-6)^2=0\\\\\\(c-6)[3c-24-2(c-6)]=0\\\\c-6=0\ \ ou\ \ 3c-24-2(c-6)=0[/tex]
c - 6 = 0 ===> c = 6 (impossible car la courbe ne serait pas définie au point C)
3c - 24 - 2(c - 6) = 0
3c - 24 - 2c + 12 = 0
3c - 2c = 24 - 12
c = 12
D'où a = 3(c - 6) = 3(12 - 6) = 3*6 = 18 ===> a = 18.
b = 8a ===> b = 8*18
b = 144
Par conséquent, l'équation de la courbe est [tex]y=\dfrac{18x+144}{x+12}[/tex]
2) La hauteur totale de la voûte sera donnée par x = 0.
Dans ce cas , y = 144/12 = 12.
La hauteur totale de la voûte est égale à 12 mètres.
3) Si la largeur de la voûte est égale à 6 m, alors x = -3.
Dans ce cas, [tex]y=\dfrac{18\times(-3)+144}{-3+12}=\dfrac{90}{9}=10[/tex]
A partir d'une hauteur supérieure à 10 m, la largeur de la voûte sera inférieure à 6 m.
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