Réponse : Bonsoir,
1)a) Le périmètre du rectangle est 2(x+y), et puisque celui-ci est égal à 60 alors 2(x+y)=60, d'où:
[tex]2(x+y)=60\\x+y=30\\y=30-x[/tex].
b) Le périmètre de la base est égal à y, donc:
[tex]y=2\pi R[/tex].
c) On remplace y par 30-x, dans l'égalité de la question b):
[tex]y=2\pi R\\30-x=2\pi R\\R=\frac{30-x}{2\pi}[/tex].
d)[tex]V(x)=\pi R^{2} \times x\\V(x)=\pi \frac{(30-x)^{2}}{4\pi^{2}} \times x=\frac{1}{4\pi}x(30-x)^{2}[/tex].
2) Le volume du cylindre semble maximal pour x=10, et ce volume semble être égal à 3150 [tex]cm^{3}[/tex].
3)a) Le tableau de signes de [tex](x-40)(x-10)^{2}[/tex], sur l'intervalle [0;30] est:
x 0 10 30
(x-40) -
(x-10)² + Ф +
(x-40)(x-10)² - Ф -
b) D'après le tableau de signes précédent, [tex](x-40)(x-10)^{2} \leq 0[/tex], pour [tex]x \in [0;30][/tex], donc [tex]V(x)-V(10) \leq 0[/tex], pour tout [tex]x \in [0;30][/tex], et donc sur cet intervalle [tex]V(x) \leq V(10)[/tex].
c) Comme pour tout [tex]x \in [0;30], V(x) \leq V(10)[/tex], alors pour x=10, le volume du cylindre est maximal.
Les dimensions de la feuille rectangulaire sont dans ce cas, x=10, et y=30-10=20.
Et le volume maximal du cylindre est :
[tex]V(10)=\frac{1}{4\pi} \times 10 (30-10)^{2}=\frac{1}{4\pi} \times 10 \times 20^{2}=\frac{4000}{4\pi}=1000 \pi \; cm^{3}[/tex].
