Réponse : Bonjour,
1) La fonction f est une fonction homographique et sa représentation graphique est une hyperbole.
2) L'ensemble de définition de la fonction f est [tex]\mathbb{R}-{3}[/tex].
3)a) [tex]2+\frac{3}{x-3}=\frac{2(x-3)+3}{x-3}=\frac{2x-6+3}{x-3}=\frac{2x-3}{x-3}=f(x)[/tex].
b) Soient a et b dans l'intervalle ]3;+∞[ tel que a < b, comparons f(a) et f(b):
[tex]a < b\\a-3 < b-3\\\frac{1}{a-3} > \frac{1}{b-3} \quad car \; x \mapsto\frac{1}{x} \; est \; decroissante \; sur \; ]0;+\infty[\\\frac{3}{a-3} > \frac{3}{b-3}\\2+\frac{3}{a-3} > 2+\frac{3}{b-3}\\f(a) > f(b)[/tex].
On a pris a et b appartenant à l'intervalle ]3;+∞[, et on trouvé que f(a) > f(b). Donc la fonction f est décroissante sur ]3;+∞[.
4)a)[tex]g(x)=f(x^{2})=2+\frac{3}{x^{2}-3}[/tex].
Pour le domaine de définition, il ne faut pas que [tex]x^{2}-3[/tex], ne s'annule pas, donc:
[tex]x^{2}-3=0\\(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0\\x=\sqrt{3} \quad ou \quad x=-\sqrt{3}[/tex]. Donc le domaine de définition de g est [tex]\mathbb{R}-\left\{-\sqrt{3};\sqrt{3}\right\}[/tex].
b) Calculons g(x)-1:
[tex]g(x)-1=2+\frac{3}{x^{2}-3}-1=1+\frac{3}{x^{2}-3}=\frac{x^{2}-3+3}{x^{2}-3}=\frac{x^{2}}{x^{2}-3}[/tex].
D'après la règle du signe d'un trinôme du second degré, puisque x²-3 a deux racines, alors x²-3 est du signe de -1, donc négatif, à l'intérieur de ses racines, donc [tex]x^{2}-3 < 0[/tex], sur l'intervalle [tex]]-\sqrt{3};\sqrt{3}[[/tex]. Et le numérateur [tex]x^{2} \geq 0[/tex], sur l'intervalle [tex]]-\sqrt{3};\sqrt{3}[[/tex].
Donc [tex]g(x)-1 \leq 0[/tex], pour tout [tex]x \in ]-\sqrt{3};\sqrt{3}[[/tex], et donc sur ce même intervalle, [tex]g(x) \leq 1[/tex].
c) Comme pour tout [tex]x \in ]-\sqrt{3};\sqrt{3}[, \; g(x) \leq 1[/tex], alors on en déduit que 1 est un maximum pour g(x), sur l'intervalle [tex]]-\sqrt{3};\sqrt{3}[[/tex].
