Bonjour,
1) Thalès :
SO'/SO = O'B'/OA
B' étant le point l'intersection de (SA) et de la parallèle à (OA) passant par O'.
On sait : SO' = h - 5, SO = h, O'B' = OB = 3 et OA = R
On en déduit :
(h - 5)/h = 3/R
⇔ R(h - 5) = 3h
⇔ h(R - 3) = 5R
⇔ h = 5R/(R - 3)
Volume du cône : V = πR² x h/3
⇒ V = πR² x 5R/3(R - 3)
⇔ V = (5π/3) x R³/(R - 3)
2) On pose : f(x) = (5π/3) * x³/(x - 3) pour x ∈ ]0;+∞{
Dérivée :
f'(x) = (5π/3) * [3x²(x - 3) - x³]/(x - 3)²
= (5π/3) * (2x³ - 9x²)/(x - 3)²
= (5π/3) * x²(2x - 9)/(x - 3)²
f' est du signe de (2x - 9)
Tableau de variations de f :
x 0 9/2 +∞
(2x - 9) - 0 +
f'(x) - 0 +
f(x) décroissante croissante
On en déduit que f atteint un minimum pour x = 9/2
Donc V est minimum pour R = 9/2 = 4,5 cm
et vaut alors : V = (5π/3) x (4,5)³/(4,5 - 3)
= 5π/3 x 91,125/1,5
= 101,25π cm³
≈ 318,1 cm³
