Réponse :
Explications étape par étape
f(x)=(2x+1)²/(x²+1) Df=R
f(x)=(4x²+4x+1)/(x²+1) de la forme u/v donc sa dérivée de la forme (u'v-v'u)/v² avec u=4x²+4x+1 u'=8x+4 et v=x²+1 v'=2x
f'(x)=[(8x+4)(x²+1)-2x(4x²+4x+1)/(x²+1)²
après développement et réduction
f'(x)=(-4x²+6x+4)/(x²+1)² (vérifie)
le signe de f'(x) dépend uniquement du signe de -4x²+6x+4
f'(x)=0 pour x=-1/2 et x=2 ceci après résolution de l'équation du second degré via delta et étude de son signe en fonction des solutions et du signe de"a" (-4).
Tableau de signes de f'(x) et de varaitions de f(x)
x -oo -1/2 +2 +oo
f'(x) .....................-...............0................+.............0.............-............
f(x) 4.......décroi...................0............croi..........5........décroi ........4
Qd x tend vers - ou + oo f(x) tend vers +4 et la droite y=4 est une asymptote horizontale .
