Réponse : Bonjour,
[tex]e^{x}+4=\frac{2}{e^{x}}\\e^{x}(e^{x}+4)=2\\e^{2x}+4e^{x}-2=0[/tex].
On pose [tex]X=e^{x}[/tex], alors l'équation devient:
[tex]X^{2}+4X-2=0[/tex].
On résout cette dernière équation:
[tex]\Delta=4^{2}-4 \times 1 \times (-2)=16+8=24[/tex].
Donc les racines de cette équation sont:
[tex]X_{1}=\frac{-4-\sqrt{24}}{2} \quad X_{2}=\frac{-4+\sqrt{24}}{2}\\X_{1}=\frac{-4-2\sqrt{6}}{2} \quad X_{2}=\frac{-4+2\sqrt{6}}{2}\\X_{1}=-2-\sqrt{6} \quad X_{2}=-2+\sqrt{6}[/tex].
Comme on a posé [tex]X=e^{x}[/tex], alors il faut résoudre les deux équations suivantes:
[tex]e^{x}=-2-\sqrt{6} \quad e^{x}=-2+\sqrt{6}[/tex].
Comme [tex]-2-\sqrt{6} < 0[/tex], alors [tex]e^{x}=-2-\sqrt{6}[/tex] n'a pas de solution. Il reste donc à résoudre:
[tex]e^{x}=-2+\sqrt{6}\\\ln(e^{x})=\ln(-2+\sqrt{6})\\ x=\ln(-2+\sqrt{6})[/tex].
Donc la seule solution de cette équation est [tex]x=\ln(-2+\sqrt{6})[/tex].
