Réponse :
1) a) calculer (1+√6)² , (1+√6)⁴ , (1+√6)⁶
(1+√6)² = 1 + 2√6 + 6 = 7 + 2√6
(1+√6)⁴ = ((1 + √6)²)² = (7 + 2√6)² = 49 + 28√6 + 24 = 73 + 28√6
(1 + √6)³ = (1+√6)²(1+√6) = (7+2√6)(1+√6) = 7 + 9√6 + 12 = 19 + 9√6
(1 + √6)⁶ = ((1+√6)³)² = (19 + 9√6)² = 361 + 342√6 + 486 = 847 + 342√6
b) appliquer l'algorithme d'Euclide à 847 et 342, que peut-on en déduire
Dividende a diviseur b quotient q reste r
1 847 342 2 163
2 342 163 2 16
3 163 16 10 3
4 16 3 5 1
5 3 1 3 0
donc pgcd (847 , 342) = 1
On en déduit que les nombres 847 et 342 sont premiers entre eux
2) soit un entier naturel n non nul, on note an et bn , les entiers naturels tel que (1+√6)ⁿ = an + bn√6
que valent a1 et b1
(1 + √6)¹ = a₁ + b₁√6 ⇒ a₁ = 1 et b₁ = 1 ⇒ a₁ = b₁ = 1
d'après les calculs de la question 1)a) donner d'autres valeurs de an et bn
a₂ = 7 et b₂ = 2
a₄ = 73 et b₄ = 28
a₆ = 847
b₆ = 342
Explications étape par étape
