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Bonjour, j'ai besoin de l'aide!
Dans un plan muni d'un repère OIJ on considère les points A(1;4), B(-1;-1), C(5;0) et M(7/3;8/3). On note K le milieu de AB et D le point tel qu'ABCD soit un parallélogramme.
a) déterminer les coordonnées de K
b) montrer que A, M et C sont alignés
c) déterminer les coordonnées de D
d) montrer que K, M et D sont alignés

J'adjointe le schéma que j'ai fait mais je suis pas sure qu'il soit correct.

Bonjour Jai Besoin De Laide Dans Un Plan Muni Dun Repère OIJ On Considère Les Points A14 B11 C50 Et M7383 On Note K Le Milieu De AB Et D Le Point Tel QuABCD Soi class=

Sagot :

Jpmorin3

A(1;4), B(-1;-1), C(5;0) et M(7/3;8/3).

a)

déterminer les coordonnées de K milieu de AB

A(1;4), B(-1;-1)

formule : demi-somme des abscisses et demi-somme des ordonnées

abscisse K = [1 + (-1)] / 2 = 0     ordonnée K = (4 - 1) / 2 = 1,5

K(0 ; 1,5)

b)

montrer que A, M et C sont alignés  A(1 ; 4)   M(7/3;8/3)   C(5 ; 0)

vect AC  = (5 - 1)i + (0 - 4)j = 4i - 4j

vect AM = (7/3 - 1)i + (8/3 - 4)j = (4/3)i +(-4/3)j

                                               = 1/3(4i - 4j)

                                               = 1/3 vect AC

vect AM =  1/3 vect AC

Les vecteurs AM et AC sont colinéaires. Les droites AM et AC sont parallèles. Elles ont en commun le point A, elles sont confondues et les points A, M et C sont alignés.

c)

déterminer les coordonnées de D : D est le point tel qu'ABCD soit un parallélogramme.

A(1;4) ;  B(-1;-1) ;  C(5;0) ; D(x ; y)

coordonnées vecteur AB  :  (-1-1 = -2 et -1-4 = -5)        AB(-2; -5)

coordonnées vecteur DC  :   (5 - x et 0 - y)                DC(5 -x ; -y)

ABCD est un parallélogramme si et seulement si  AB = CD

soit  5 -x = -2 et -y = -5

        x = 7 et y = 5

réponse D(7 ; 5)

d)

montrer que K, M et D sont alignés

K(0 ; 3/2)     M(7/3 ; 8/3)       D(7 ; 5)

vect MK :  (0 - 7/3 ; 3/2 - 8/3)     vect MK (-7/3 ; -7/6)

vect DK :   (0 -7 ; 3/2 - 5)            vect DK (-7 ; -7/2)

MK = (-7/3)i - (7/6)j = 1/3[-7i - (7/2)j] = (1/3)DK

le vecteur MK est le tiers du vecteur DK, ces vecteurs sont colinéaires et on conclut à l'alignement des points comme dans la question qui précède.

remarque (démonstration géométrique)

on a vu AM = (1/3)AC     si on appelle I le centre du parallélogramme

            AM = (1/3)(2AI)

            AM = (2/3)AI

dans le triangle ABD, le point M est sur la médiane AI à 2/3 du sommet, c'est le centre de gravité du triangle. La droite DK est une seconde médiane, elle passe par K

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