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Sagot :
Réponse :
il faut chercher 3 couples (x , y) vérifiant l'équation
soit z³ = (x + iy)³ = a+ib a et b des nombres réels
(x + iy)² = x² + 2i xy - y²
(x²+2ixy-y²)(x+iy) = x³ + ix²y + 2ix²y - 2xy²- y²x - iy³
= x³ + 3ix²y - 3xy² - iy³
= x³ - 3 xy² + i(3x²y - y³) = a + ib
⇒ x³ - 3 xy² = a
3x²y - y² = b
c : est la racine cubique réel de a²+b²
on obtient une équation du 3ème degré suivante :
4 x³ - 3 cx - a = 0
les trois racines de a+ib sont
x + iy ; j(x+iy) et j²(x+iy) avec y = b/(4 x²-c)
pour mieux comprendre, nous allons passer à un exercice d'application
soit à rechercher les racines cubiques du nombre 18 + 26i
a = 18 ; b = 26 d'où c = ∛(18²+26²) = ∛1000 = 10
l'équation du 3 ème degré devient :
4 x³ - 30 x - 18 = 0
pour x = 3 l'équation est vérifiée donc x = 3 est une solution
calculons y = 3bx/(8x²+a) = 3 * 26 *3/(8*3²+18) = 1
Les 3 racines de 18+26i sont:
z1 = 3+i
z2 = j(3+i)
Z3 = j²(3+i)
j : s'obtient en résolvant l'équation du 2ème degré donc j = - 1/2 i√3/2
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