Bonjour!
Je vais essayer de t'expliquer aussi bien que possible haha, si t'as des questions je reste joignable
1) On définit f(x)=x^4+2x^3-2x+1
et g(x)=2x^3+3x^2-1
a) On cherche ici g'(x), c'est-à-dire la dérivée de g(x).
La fonction est sous forme (u+v+w) et on sait que (u+v+w)'=u'+v'+w' avec u(x)=2x^3; v(x)=3x^2 et w(x)=-1
donc on cherche ces trois dérivées pour trouver la dérivée "totale" de g(x)
u'(x)=6x^2 (car la dérivée de x^n est nx^n-1)
v'(x)=6x
et w'(x)=0 (la dérivée d'un nombre k est 0)
Donc, g'(x)=u'+v'+w'=6x^2+6x
b) Ici, on cherche à étudier le signe de g'(x) et en déduire ses variations
pour étudier le signe de g'(x) c'est simple dans le sens où il faut procéder comme à une équation normale.
Dans un premier temps, tu résous g'(x)=0 pour savoir où la courbe représentative de la fonction passe par l'axe des abscisses et donc qu'il y a changement de signe.
Grâce à delta (vu aux premiers chapitres normalement), on déduit qu'il y a deux solutions à cette équation : S={-1;0}
En se référant encore aux premiers chapitres, on sait que la courbe est du signe de a en dehors des racines. Donc ici, g'(x) est positive sur ]-∞;-1]∩[0;+∞[ et qu'il est négatif sur [-1;0]
On connait donc le signe de g'(x). Puis, on a une propriété disant que lorsque g'(x) est positif, alors g(x) est croissant; et au contraire, lorsque g'(x) est négatif, alors g(x) est décroissant.
On en déduit donc que g(x) est décroissant sur [-1;0] et croissant sur le reste de la courbe.
c) g(1/2)=0. On en déduit que g passe par l'axe des abscisses en x=1/2 et on en déduit le signe de g(x) qui change donc en 1/2 pour passer de négatif à positif
2) a) je t'ai répondu en dessous
b) comme f'(x)=2g(x), on en déduit que les variations de f' sont les mêmes que celles de g
