1)
a) aire ABC : demi-produit des côtés de l'angle droit
(AB x BC)/2 = (8 x 6)/2 =24 cm²
b) l'aire d'un triangle est aussi égale à (côté x hauteur)/2
soit (AC x BH)/2
on sait que cette aire est 24
(AC x BH)/2 = 24 on connaît AC on peut calculer BH
10 x BH = 48
BH = 4,8 (cm)
2)
a) quadrilatère ABCD
O est le milieu de [AC] (hypothèse)
O est aussi le milieu de [BD] puisque
D est le symétrique de B par rapport à O
les diagonales AC et BD du quadrilatère ABCD ont même milieu O
=> ce quadrilatère est un parallélogramme
ce parallélogramme a on angle droit ABC
=> c'est un rectangle
b) Nature triangle BEC
E est le symétrique de B par rapport à (AC)
la droite AC est la médiatrice du segment [BE]
Le point C de cette médiatrice est équidistant de B et de E : CB = CE
Le triangle BCE est isocèle, de sommet E
c) en déduira que AD = EC
on vient de voir que CB = CE
puisque ABCD est rectangle AD = BC
on en déduit que AD = CE
d)
O est le milieu de BD et H est le milieu de BH (symétries)
Dans le triangle BDE la droite OH qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté, donc à (DC)
OH // DE
dans le quadrilatère ADEC on sait que
(OH) // (DE) et que AD = EC
c'est la définition d'un trapèze isocèle
Réponse :
1) a) calculer, en cm² l'aire du triangle ABC
A = 1/2(AB x BC) = 1/2(8 x 6) = 24 cm²
b) en déduire que BH = 4.8 cm
A = 1/2(BH x AC) = 24 ⇒ BH x AC = 48 ⇒ BH = 48/AC = 48/10 =
= 4.8 cm
2) a) donner la nature du quadrilatère ABCD
ABCD est un rectangle car les diagonales (AC) et (BD) se coupent au même milieu et sont de même mesure
de plus l'angle ^B est de 90°
b) donner la nature du triangle BCE
BCE est un triangle isocèle en C
on a BH = HE ; le triangle BHC est rectangle en H
le triangle CHE rectangle en H
ces deux triangles ont en commun CH ⇒ donc forcément CE = BC
c) en déduire AD = EC
puisque AD = BC et BC = EC ⇒ AD = EC
d) démontrer que les droites (DE) et (OH) sont parallèles
(OH) ⊥ ((EH) et (DE) ⊥(EH) ⇒ (OH) // (DE)
e) démontrer que ADEC est un trapèze isocèle
(DE) // (AC) et AD = EC et DE < AC ⇒ ADEC est un trapèze isocèle
Explications étape par étape