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Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J). On considère les points A(–2 ; 0), B(2 ; 0) et C'((2√5)/5 ; ((4√5)/5) Les points C et D sont tels que ABCD est un carré et W est un demi-cercle de diamètre [AB] (comme indiqué sur la figure ci-dessous).

1.
a. Montrer que le point C’ appartient à la droite (OC).
b. Calculer OC’.
c. En déduire que C’est l’intersection de (OC) et de W.

2. On considère l’homothétie h de centre O qui transforme C en C’.

a. Quel est le rapport de l’homothétie h ?
b. Déterminer les coordonnées de D’ = h (D). Montrer que D’ appartient à W.
c. Déterminer les coordonnées de A’ = h (A) et de B’ = h (B).
d. Montrer que A’B’C’D’ est un carré.

3. Un triangle équilatéral IJK étant donné et en s’inspirant, éventuellement des questions précédentes, construire un carré ABCD inscrit dans le triangle, c’est-à-dire tel que : A, B appartiennent à [IJ], C appartient à [JK] et D appartient à [IK].

(On donnera les différentes étapes de la construction et on démontrera que le quadrilatère ainsi construit répond bien au problème posé.)

Le Plan Est Muni Dun Repère Orthonormé O I J On Considère Les Points A2 0 B2 0 Et C255 455 Les Points C Et D Sont Tels Que ABCD Est Un Carré Et W Est Un Demicer class=

Sagot :

LonelyHunter

1)

a) On relie la droite OC à la fonction f(x) tel que :

f(0) = 0    (c'est les coordonnées du point 0),

f(x) est une fonction linéaire donc f(x) = ax

f([2√5]/5) = (4√5)/5  (c'est les coordonnées du point C)

f([2√5]/5) = [(2√5)/5]a = (4√5)/5 ⇔ a = [(4√5)/5] / [(2√5)/5]

a = 2

Pour que C' appartient à la droite il faut que :

f(XC') = YC'

f([2√5]/5) = 2 x [2√5]/5 = (4√5)/5

C' appartient à la droite OC.

b) Soit le vecteur OC'

[tex]\left[\begin{array}{ccc}XC'-XO\\YC' -YO\end{array}\right]  = \left[\begin{array}{ccc} \frac{2\sqrt{5} }{5}  - 0 \\\frac{4\sqrt{5} }{5}  -0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} \frac{2\sqrt{5} }{5}  \\\frac{4\sqrt{5} }{5} \end{array}\right][/tex]

Sa longueur vaut [tex]\sqrt{(XC')^{2}+(YC')^{2}} =  \sqrt{(\frac{2\sqrt{5} }{5})^{2} + (\frac{4\sqrt{5} }{5})^{2}} = 2[/tex]

c) Le vecteur OB

[tex]\left[\begin{array}{ccc}XB-XO\\YB -YO\end{array}\right]  = \left[\begin{array}{ccc} 2  - 0 \\0  -0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 2}  \\0 \end{array}\right][/tex]

La longueur OB vaut [tex]\sqrt{(XOB)^{2}+(YOB)^{2}} =  \sqrt{(2)^{2} + (0)^{2}} = 2[/tex]

OB est de même longueur que OC’. Les deux longueurs partent de O, donc ils sont tout deux des rayons du demie-cercles W

2)

a)

ABCD est un carré et on a A(-2 ; 0) et B(2 , 0)

Le coté AB fait 4 d’abscisse.

On conclue que D (-2; 4) et C (2; 4)

L'homothétie fait que C ⇒ C' donc 2 ⇒ 2√5/5 ⇔ 2*√5/5

et 4 ⇒ 4√5/5 ⇔ 4*√5/5

Le rapport de l'homothétie h est de √5/5

b)

On applique le rapport au coordonné de D ;

D (-2; 4) ⇒ D' (-2√5/5 ; 4√5/5)

Si D' appartient au cercle C alors D'O a la même longueur que AO

Le vecteur AO(2,0) a pour longueur [tex]\sqrt{2^{2}+0^{2}}[/tex] soit 2

Le vecteur D'O(2√5/5 ; -4√5/5) a pour longueur [tex]\sqrt{(2\sqrt{5}/5)^{2}+ (-4\sqrt{5}/5)^{2}}[/tex] soit aussi 2.

Donc D'O appartient a C demie-cercle.

c)

A (-2 ; 0) ⇒ A' (-2√5/5 ; 0)

B (2 ; 0) ⇒ B' (2√5/5 ; 0)

d)

Calcule des diagonales A'C' et D'B' :

Formule vecteur AB ( XB -XA ; YB -YA)

Vecteur A'C' (2√5/5 - [-2√5/5] ;  4√5/5 - 0)

De même pour D'B' : ...

A'C' = D'B' = [tex]\sqrt{(4\sqrt{5}/5)^{2}+(4\sqrt{5}/5)^{2}} = \frac{4\sqrt{10} }{5}[/tex]

A'C' et D'B' ont la même longueur donc A'B'C'D est un rectangle.

On calcule le milieu de  A'C' et de D'B' :

Xk = [tex]\frac{XA' + XC'}{2} = \frac{XD' + XB'}{2} = 0[/tex]

Yk = [tex]\frac{YA' + YC'}{2} = \frac{YD' + YB'}{2} = 2\sqrt{5}/5[/tex]

A'C' et D'B' ont la même longueur et se coupent en leur milieu donc A'B'C'D' est un carré.

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