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Soit une fonction numérique f définie sur [-1;5], et sa dérivé f' dont la courbe est représenté ci dessous dans le repère.
1a/ A l'aide du graphique, déterminer le signe de f'(x) suivant les valeurs de x 
b/ En déduire les variations de f sur [-1;5]
2/ On veut tracer une représentation graphique C possible de la fonction f
On sait que f(o)=-1, f(1)=1/3, f(2)=-1/3, f(3)=-1 et f(4)=-1/3
a) Placer dans le repère les points de c d'abscisses 1,2,3 et 4
b) Tracer la tangente a c au point d'abscisse 1;2;3;4
c) proposer un tracé de la courbe c 
3) On veut déterminer l'expression de f(x).
On suppose que pour tout x :f(x)= 1/3x³+ax²+bx+c
Déterminer les valeurs de a,b,c et sonner l'expression de f(x)
4) Peut on trouver d'autres fonctions admettant f' comme fonction dérivée ?

Je bloque a partir de la 2b, 

Soit Une Fonction Numérique F Définie Sur 15 Et Sa Dérivé F Dont La Courbe Est Représenté Ci Dessous Dans Le Repère1a A Laide Du Graphique Déterminer Le Signe D class=

Sagot :

2b) f'(a) représente la pente de la courbe de f au point d'abscisse a. C'est aussi le coefficient directeur de la tangente en ce point. L'équation réduite de la tangente au point (a;f(a)) est de la forme y=f'(a)*x+b. Par ailleurs, passant par (a;f(a)), cette équation vérifie f(a)=f'(a)*a+b donc b=f(a)-f'(a)*a
On applique pour a=1 pour avoir l'équation de la tangente au point (1;f(1))
f(1)=1/3, f'(1)=0 donc b=1/3 et y=1/3
Pour a=2
f(2)=-1/3, f'(2)=-1 donc b=-1/3+1*2=5/3 et y=-x+5/3
Pour a=3
f(3)=-1, f'(3)=0 donc b=-1 et y=-1
Pour a=4
f(4)=-1/3, f'(4)=3 donc b=-1/3-3*4=-37/3 et y=3x-37/3
2c) Pour le tracer de la courbe tu traces les 4 tangentes ce qui te donnera l'allure de la courbe au voisinage de chaque point.
3) On sait que f(0)=-1 donc c=-1
f(1)=1/3 donc 1/3+a+b-1=1/3 soit a+b=1 et b=1-a
f(2)=-1/3 donc 8/3+4a+2b-1=-1/3 soit 4a+2b=-2 <=> 4a+2(1-a)=-2
<=>2a+2=-2 et a=-2. D'ou b=3
Donc f(x)=[tex] \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} +3x-1 [/tex]
4) Toute fonction f'(x) a une primitive de la forme f(x)+K, K étant un réel quelconque. En revanche la forme de f(x) est unique.
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