Réponse :
Partie A à compléter
3) déterminer alors l'équation réduite de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse - 1
L'équation de la tangente est : y = f(-1) + f '(-1)(x + 1)
f '(-1) = 3/2
f (-1) = (1 - 2 - 5)/- 2 = - 6/- 2 = 3
y = 3 + 3/2(x + 1) = 3 + 3/2 x + 3/2 = 9/2 + 3/2 x
l'équation de la tangente T est : y = (3/2) x + 9/2
Partie B
f (x) = (x² + 2 x - 5)/(x-1)
f '(x) = (x² - 2 x + 3)/(x - 1)² or (x-1)² > 0
f '(x) = 0 ⇔ x² - 2 x + 3 = 0
Δ = 4 - 12 = - 8 < 0 pas de solutions ⇒ x² - 2 x + 3 > 0 car a > 0
⇒ f '(x) > 0 ⇒ f est strictement croissante
Tableau de variation
x - ∞ 1 + ∞
f(x) - ∞→→→→→→→→→→ + ∞ || - ∞→→→→→→→→ + ∞
2) a) démontrer que f(x) - (x + 3) = - 2/(x-1)
f(x) - (x+3) = (x² + 2 x - 5)/(x-1) - (x + 3)
= (x² + 2 x - 5)/(x-1) - (x + 3)(x-1)/(x-1)
= (x² + 2 x - 5 - (x² + 2 x - 3))/(x-1)
= (x² + 2 x - 5 - x² - 2 x + 3)/(x-1)
= - 2/(x-1)
b) en déduire les positions relatives de C par rapport à d
f(x) - (x+3) = - 2/(x-1)
x - ∞ 1 + ∞
x-1 - || +
quand x < 1 ⇒ f(x) - (x+ 3) > 0 ⇒ la courbe C est au dessus de la droite d
quand x > 1 ⇒ f(x) - (x+3) < 0 ⇒ la courbe C est en dessous de la droite d
Explications étape par étape
Partke A
1)
l'ensemble de définition est R - {1}
cela signifie que f n'est pas défini pour 1.
Etant donnée la forme,de f(x) on en déduit que le dénominateur est nul pour x = 1.
C= -1
on dérive f(x) = (ax² + bx - 5)/(x - 1)
il suffit d'appliquer le formule
rappel : (u/v)' = (u'v - vu')/v²
u : ax² + bx - 5 u' : 2ax + b
v : x - 1 v' : 1
u'v - uv' : (2ax + b)(x - 1) - (ax² + bx - 5)(1) =
ax² -2ax - b + 5
v² : (x - 1)²
f'(x) = (ax² -2ax - b + 5) / (x - 1)²
f(x) = (ax² + bx - 5)/(x - 1)
il faut trouver a et b sachant que
⋇ f(0) = 5 (ça n'apprend rien me semble-t-il)
⋇ le point A(-1 ; 3) est sur la courbe f(-1) = 3
⋇ f'(-1) = 3/2
tu écris f(-1) = 3 et f'(-1) = 3/2 tu devrais obtenir un système qui te donne a et b