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Anis976
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Bonjour, j'ai beaucoup de mal a comprendre un exercice de mathématique.

1. Démontrer que pour tous nombre réels x et y, on a [tex]xy=(\frac{x+y}{2})^{2}-(\frac{x+y}{2})^{2}[/tex]

2. Justifier que pour tous nombres réels x et y, on a [tex]xy\leq (\frac{x+y}{2})^{2}[/tex]

3. Peut-on avoir [tex]xy=(\frac{x+y}{2})^{2}[/tex] ?

je remercie d'avance la personne qui pourra m'aider dans mon problème.


Sagot :

Bonjour;

1.

Tout d'abord c'est xy = ((x + y)/2)² - ((x - y)/2)²

et non xy = ((x + y)/2)² - ((x + y)/2)² .

On utilisera l'identité remarquable : a² - b² = (a - b)(a + b) .

((x + y)/2)² - ((x - y)/2)² = ((x + y)/2 - (x - y)/2)((x + y)/2 + (x - y)/2)

= ((x + y - x + y)/2)((x + y + x - y)/2) = ((2y)/2)((2x)/2) = yx = xy .

2.

On a pour tous nombres réels x et y : (x - y)² ≥ 0 car c'est un carré ;

donc : x² + y² - 2xy ≥ 0 ;

donc : x² + y² ≥ 2xy ;

donc : x² + y² + 2xy ≥ 4xy ;

donc : (x + y)² ≥ 4xy ;

donc : (x + y)²/4 ≥ xy ;

donc : ((x + y)/2)² ≥ xy .

3.

xy = ((x + y)/2)² ;

donc : xy = (x + y)²/4 ;

donc : 4xy = (x + y)² ;

donc : 4xy = x² + y² + 2xy ;

donc : x² + y² + 2xy - 4xy = 0 ;

donc : x² + y² - 2xy = 0 ;

donc : (x - y)² = 0 ;

donc : x - y = 0 ;

donc : x = y ;

donc on peut avoir xy = ((x + y)/2)² si x = y ;

dans ce cas on a : x² = ((2x)/2)² = (x)² = x² .

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