Réponse : Bonsoir,
1)a) Initialisation: n=0, [tex]2u_{0}-v_{0}=2 \times 3-1=6-1=5[/tex], donc la propriété est vérifiée à l'ordre n=0.
Hérédité: Supposons que la propriété est vraie au rang n, donc que [tex]2u_{n}-v_{n}=5[/tex], et démontrons là au rang n+1, donc que [tex]2u_{n+1}-v_{n+1}=5[/tex].
On a:
[tex]2u_{n+1}-v_{n+1}=2(2u_{n}-1)-(2v_{n}+3)\\=4u_{n}-2-2v_{n}-3\\=4u_{n}-2v_{n}-5\\=2(2u_{n}-v_{n})-5[/tex].
Par l'hypothèse de récurrence, [tex]2u_{n}-v_{n}=5[/tex], donc:
[tex]2u_{n+1}-v_{n+1}=2(2u_{n}-v_{n})-5=2 \times 5-5=10-5=5[/tex].
La propriété est donc vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout [tex]n \in \mathbb{N}, \; 2u_{n}-v_{n}=5[/tex].
b) D'après la question précédente:
[tex]2u_{n}-v_{n}=5\\2(2^{n+1}+1)-v_{n}=5\\2^{n+2}+2-v_{n}=5\\v_{n}=2^{n+2}+2-5\\v_{n}=2^{n+2}-3[/tex].
Enfin:
[tex]T_{n}=\sum_{k=0}^{n} v_{k}=\sum_{k=0}^{n}2^{k+2}-3=\sum_{k=0}^{n}2^{k+2}-3(n+1)\\T_{n}=2^{2} \times \frac{1-2^{n+1}}{1-2}=-4(1-2^{n+1})-3(n+1)=-4+2^{2}2^{n+1}-3n-3\\ T_{n}=2^{n+3}-3n-7[/tex].
