Réponse :
Uo=2 et U(n+1)=(1/2)Un+3
Explications étape par étape
1) Vn=Un-6 , la suite Vn est géométrique si V(n+1)/Vn=Cste
V(n+1)=U(n+1)-6=(1/2)Un+3-6=(1/2)Un-3=(1/2)(Un-6)
donc V(n+1)/Vn=1/2; Vn est une suite géométrique de raison q=1/2 et de premier terme Vo=Uo-6=2-6=-4
2) Vn=(-4)*(1/2)^n
3) la somme des n premiers termes de la suite Vn est donnée par la formule S(Vo à Vn)=Vo*(1-q^n)/(1-q)
ce qui donne S=(-4)[1-(1/2)^20]/(1-1/2)=-8[(1-(1/2)^20]=......(calculatrice)
4) Vn=Un-6 donc Un=Vn+6=6-4(1/2)^n
1/2 étant <1, (1/2)^n tend vers 0 quand n tend vers +oo donc Un tend vers 6
5) le terme 4*(1/2)^n est toujours>0 quelque soit n (cours de 4ème sur les puissances) donc la suite Un est toujours <6 elle ne peut pas être = à 6 car le terme 4(1/2)^n n'est jamais=0 (à partir d'un certain rang la calculatrice le néglige mais il existe).
6)La suite Un=6-4(1/2)^n est une fonction de n; son sens de variation dépend du signe de sa dérivée
(Un)'=-4*ln(1/2)*(1/2)^n cette dérivée est toujours >0 donc Un est croissante.
