Réponse : Bonjour,
Exercice 1
Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, [tex]0 < U_{n} < 1[/tex].
Initialisation: Au rang n=0, [tex]U_{0} \in ]0;1[[/tex], donc la propriété est vérifiée au rang n=0.
Hérédité: On suppose la propriété vraie à l'ordre n, donc que [tex]0 < U_{n} < 1[/tex], et démontrons là à l'ordre n+1, c'est à dire que [tex]0 < U_{n+1} < 1[/tex].
Étudions les variations de la fonction f(x)=x(2-x) sur l'intervalle ]0;1[.
On calcule sa fonction dérivée f'(x):
[tex]f'(x)=1(2-x)-1 \times x=2-x-x=2-2x[/tex].
On résout l'inéquation:
[tex]2-2x \geq 0\\2x \leq 2\\x \leq 1[/tex].
On a donc le tableau de variations suivant:
x 0 1
f'(x) + Ф
f(x) 0 (croissante) 1
D'après le tableau de variations précédent, pour tout x appartenant à l'intervalle ]0;1[, f(x) appartient à l'intervalle ]0;1[.
D'après l'hypothèse de récurrence:
[tex]0 < U_{n} < 1\\f(0) < f(U_{n}) < f(1) \quad car \; f \; est \; croissante\\0 < U_{n+1} < 1 \quad car \; U_{n+1}=f(U_{n}) \; avec \; f(x)=x(2-x)[/tex].
La propriété est vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout entier naturel n, [tex]0 < U_{n} < 1[/tex].
Exercice 2
Démontrons que pour tout entier naturel n, [tex]u_{n} \leq 4[/tex].
On remarque que [tex]u_{n+1}=f(u_{n})[/tex] avec [tex]f(x)=\sqrt{3x+4}[/tex].
Initialisation: A l'ordre n=0, [tex]u_{0}=0 \leq 4[/tex], donc la propriété est vérifiée à l'ordre n=0.
Hérédité: On suppose la propriété vraie à l'ordre n, donc que [tex]u_{n} \leq 4[/tex], et démontrons là à l'ordre n+1, donc que [tex]u_{n+1} \leq 4[/tex].
Étudions les variations de la fonction f.
Pour cela, on calcule la fonction dérivée f':
[tex]f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+4}}[/tex].
Le numérateur 3 est positif pour tout x réel. f' n'est pas définie pour [tex]x=-\frac{4}{3}[/tex], et le dénominateur est strictement positif pour tout [tex]x \in ]-\frac{4}{3};+\infty[/tex], car [tex]\sqrt{3x+4} >0[/tex] sur cet intervalle et 2 est un nombre positif.
On a donc le tableau de variations suivant:
x [tex]-\frac{4}{3}[/tex] 4 +∞
f'(x) ║ +
f(x) 0 (croissante) f(4)=4 (croissante)
D'après la tableau de variations précédent, pour tout [tex]x \in [-\frac{4}{3};4], 0 \leq f(x) \leq 4[/tex].
D'après l'hypothèse de récurrence:
[tex]u_{n} \leq 4\\f(u_{n}) \leq f(4) \quad car \; f \; est \; croissante\\u_{n+1} \leq 4[/tex].
La propriété est vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout entier naturel n, [tex]u_{n} \leq 4[/tex].