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Sagot :
Réponse :
1) déterminer l'aire A(x) de PQRS en fonction de x
A(x) = 36 - [1/2(x*(6 -x)) + 1/2(x*(6 -x)) + 1/2(5*(6 - x)) + 1/2 x]
= 36 - [x(6 - x) + 1/2(5*(6 - x)) + 1/2 x]
= 36 - [6 x - x² + 15 - 5/2 x + 1/2 x]
= 36 - (- x² + 4 x + 15)
= x² - 4 x + 21
2) a) montrer que, pour tout x de [0 ; 6]
A(x) - 18 = (x - 3)(x - 1)
A(x) - 18 = x² - 4 x + 21 - 18
= x² - 4 x + 3
Δ = 16 - 12 = 4
x1 = 4 + 2)/2 = 3
x2 = 4 - 2)/2 = 1
A(x) - 18 = a(x - x1)(x-x2) = (x - 3)(x - 1)
b) déterminer x pour que A(x) = 18
A(x) = 18 ⇔ x² - 4 x + 21 = 18 ⇔ x² - 4 x + 3 = 0 ⇔ (x - 3)(x-1) = 0
x - 3 = 0 ⇒ x = 3 ou x- 1 = 0 ⇒ x = 1
3) a) montrer , que pour tout x ∈ [0 ; 6] A(x) - 26 = (x+1)(x- 5)
A(x) - 26 = x² - 4 x + 21 - 26 = x² - 4 x - 5
Δ = 16 + 20 = 36
x1 = 4 + 6)/2 = 5
x2 = 4 - 6)/2 = - 1
A(x) - 26 = a(x-x1)(x-x2) = (x-5)(x+1)
b) résoudre A(x) > 26 ⇔ A(x) - 26 > 0 ⇔ (x +1)(x-5) > 0
x ∈ [0 ; 6] ⇔ x ≥ 0 ⇔ x + 1 > 1 ⇔ x + 1 > 0
x 0 5 6
x-5 - 0 +
les solutions de l'inéquation sont S = ]5 ; 6]
4) a) montrer que, pour tout x de [0 ; 6]
A(x) = (x- 2)² + 17
A(x) = x² - 4 x + 21
α = - b/2a = 4/2 = 2
β = f(2) = 4 - 8 + 21 = 17
A(x) = a(x-α)² + β = (x-2)²+ 17
b) pour quelle valeur de x , l'aire du quadrilatère PQRS est-elle minimale Justifier
en utilisant la forme canonique de A(x) = (x-2)²+ 17 , l'aire minimale β = 17 est obtenue pour la valeur de x = α = 2
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