Bonjour,
U₀ = 0 et pour tout n ∈ N, Un+1 = Un + 2n + 2
1) U₁ = U₀₊₁ = U₀ + 2x0 + 2 = 2
U₂ = U₁₊₁ = U₁ + 2x1 + 2 = 6
2) a) N = 3 et U = I = 0
1ère itération :
U + 2xI + 2 → U donc U = 2
I + 1 → I donc I = 1
2ème itération :
U = 2 + 2x1 + 2 = 6
I = 1 + 1 = 2
3ème itération :
U = 6 + 2x2 + 2 = 12
I = 2 + 1 = 3
Sortie de la boucle car I = N = 3
Affichage : 12
b) calcul de Un pour N donné
3) (Un) semble croissante.
Un+1 - Un = 2n + 2 > 0 pour tout n ∈ N
⇒ Un+1 > Un pour tout n ∈ N
⇒ (Un) croissante
4) Vn = Un+1 - Un
a) Vn = 2n + 2 et (Vn) est croissante (cf 3))
b) S = V₀ + V₁ + ... + Vn
= (2x0 + 2) + (2x1 + 2) + ..... + (2n + 2)
= 2x(0 + 1 + .... + n) + (n + 1) x 2
= 2 x n(n + 1)/2 + 2(n + 1)
= (n + 2)(n + 1)
c) S = V₀ + V₁ + ... + Vn
= (U₁ - U₀) + (U₂ - U₁) + ..... + (Un+1 - Un)
= -U₀ + Un+1 (= Un+1 car U₀ = 0)
On en déduit : Un+1 = (n + 1)(n + 2)
Soit : Un = n(n + 1)
