Réponse :
f(x) = 6 x² - 9 x - 6
1) a) montrer que la fonction f peut s'écrire
f(x) = 6[(x - 3/4)² - 25/16]
f(x) = 6 x² - 9 x - 6 peut s'écrire sous la forme canonique
f(x) = a(x - α)²+ β
a = 6
α = - b/2a = 9/12 = 3/4
β = f(3/4) = 6(3/4)² - 9(3/4) - 6 = 54/16 - 27/4 - 6 = 54/16 - 108/16 - 96/16
= - 150/16
f(x) = 6(x - 3/4)² - 150/16
= 6[(x - 3/4)² - 25/16]
b) en déduire que la fonction f est minorée par - 75/8
f(x) = 6[(x - 3/4)² - 25/16] ⇔ f(x) = 6(x-3/4)² - 6 * 25/16
⇔ f(x) = 6(x-3/4)² - 3*25/8 ⇔ f(x) = 6(x - 3/4)² - 75/8
la valeur minimale de f est - 75/8
c) soit a et b deux nombres réels établir l'implication suivante
a < b < 3/4 ⇒ f(a) > f(b)
f(a) = 6 a² - 9 a - 6
f(b) = 6 b² - 9 b - 6
.................................................
f(a) - f(b) = 6 a² - 6 b² - 9 a + 9 b - 6 + 6
= 6(a² - b²) - 9(a - b)
= 6(a-b)(a+b) - 9(a-b)
= (a-b)(6 a + 6 b -9)
a - b < 0 et comme a et b ∈ [- ∞ ; 3/4] ⇔ a < 0 ; b < 0
donc 6 a + 6 b - 9 < 0 donc (a-b)(6a+6b-9) > 0
Donc f(a) - f(b) > 0 ⇒ f(a) > f(b)
2) a) déduire de la question 1) a la factorisation suivante
f(x) = 6(x + 1/2)(x - 2)
f(x) = 6[(x - 3/4)² - 25/16] ⇔ f(x) = 6[(x - 3/4)² - (5/4)²]
⇔ f(x) = 6[( x - 3/4 + 5/4)(x - 3/4 - 5/4)]
= 6(x + 1/2)(x - 2)
b) donner les antécédents de 0 par f
f(x) = 0 = 6(x + 1/2)(x - 2) ⇒ x + 1/2 = 0 ⇒ x = - 1/2
x - 2 = 0 ⇒ x = 2
c) déterminer la partie de R sur laquelle la fonction f est strictement positive
f(x) = 6(x+1/2)(x - 2) > 0
x - ∞ - 1/2 2 + ∞
x+1/2 - 0 + +
x- 2 - - 0 +
f(x) + 0 - 0 +
la partie de R où f(x) > 0 est ]- ∞ ; - 1/2[U]2 ; + ∞[
Explications étape par étape