Réponse :
soit la suite Un+2 = Un+1 - 1/4 Un
U0 = - 1
U1 = 1/2
1) calculer U2 et U3
U2 = U1 - 1/4 U0 = 1/2 - 1/4 (- 1) = 1/2 + 1/4 = 3/4
U3 = U2 - 1/4 U1 = 3/4 - 1/8 = 5/8
2) a) la suite (Un) est -elle arithmétique , justifier
U1 - U0 = 1/2 + 1 = 3/2
U3 - U2 = 5/8 - 3/4 = - 1/8
La suite (Un) n'est pas arithmétique
b) la suite (Un) est -elle géométrique , justifier
U1/U0 = - 1/2
U3/U2 = 5/8/3/4 = 4 x 5/8 x 3 = 5/6
La suite (Un) n'est pas géométrique
3) Vn = Un+1 - 1/2 Un
a) calculer V0 , V1 et V2
V0 = U1 - 1/2U0 = 1/2 + 1/2 = 1
V1 = U2 - 1/2U1 = 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2
V2 = U3 - 1/2U2 = 5/8 - 1/2 x 3/4 = 5/8 - 3/8 = 2/8 = 1/4
b) exprimer Vn+1 en fonction de Vn
Vn+1 = Un+2 - 1/2 Un+1
= Un+1 - 1/4Un - 1/2Un+1
= 1/2 Un+1 - 1/4Un
= 1/2(Un+1 - 1/2Un)
⇔ Vn+1 = 1/2 Vn
c) quelle est la nature de la suite Vn, justifier
la suite (Vn) est une suite géométrique car elle est de la forme
Vn+1 = Vn x q ici q = 1/2
V1/V0 = V2/V1 = 1/2
d) exprimer Vn en fonction de n
Vn = V0 x qⁿ = 1 x (1/2)ⁿ = 1/2ⁿ
4) Wn = Un/Vn
a) calculer W0
W0 = U0/V0 = - 1/1 = - 1
b) exprimer Wn+1 en fonction de Un et Vn
Wn+1 = Un+1/Vn+1 = Vn + 1/2Un/1/2Vn = Vn/1/2Vn + 1/2Un/1/2Vn
= 2 + Un/Vn
Wn+1 = 2 + Un/Vn
c) exprimer Wn+1 en fonction de Wn
Wn+1 = Un+1/Vn+1 = 2+ Un/Vn = 2 + Wn
Wn+1 = Wn + 2
e) quelle est la nature de la suite (Wn) c'est une suite arithmétique car elle est de la forme Wn+1 = Wn + r raison r = 2
Exprimer Wn en fonction de n
Wn = W0 + nr = - 1 + 2 n
f) en déduire une expression de Un en fonction de n
Wn = Un/Vn ⇒ Un = Vn x Wn = 1/2ⁿ x (- 1 + 2 n) = - 1/2ⁿ + 2 n/2ⁿ = - 1/2ⁿ + n/2ⁿ⁻¹
Explications étape par étape